ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-39. вариант - 1

1. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 3y + \dfrac{1}{x - 3y} = 2, \\ y(x - 3y) = 3. \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 3y \neq 0$. Пусть $t = x - 3y$, причём $t \neq 0$. Тогда первое уравнение системы принимает вид: $$ t + \frac{1}{t} = 2 $$ Умножим обе части уравнения на $t$: $$ t^2 + 1 = 2t $$ $$ t^2 - 2t + 1 = 0 $$ $$ (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 $$ Значение $t = 1$ удовлетворяет условию $t \neq 0$. Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $$ x - 3y = 1 $$ Подставим найденное выражение $x - 3y = 1$ во второе уравнение системы: $$ y \cdot 1 = 3 \implies y = 3 $$ Теперь найдём $x$, подставив $y = 3$ в равенство $x - 3y = 1$: $$ x - 3 \cdot 3 = 1 $$ $$ x - 9 = 1 \implies x = 10 $$ Проверим ОДЗ: $10 - 3 \cdot 3 = 1 \neq 0$ — условие выполняется. Ответ: $(10; 3)$. --- 2. Выясним, сколько решений имеет система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y - 2|x| = -3. \end{cases} $$ Выразим $y$ из второго уравнения: $$ y = 2|x| - 3 $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ x^2 + (2|x| - 3)^2 = 9 $$ Так как $x^2 = |x|^2$, выполним замену переменной: пусть $u = |x|$, где $u \ge 0$. $$ u^2 + (2u - 3)^2 = 9 $$ Раскроем скобки: $$ u^2 + 4u^2 - 12u + 9 = 9 $$ $$ 5u^2 - 12u = 0 $$ $$ u(5u - 12) = 0 $$ Отсюда получаем два корня для $u$: 1) $u_1 = 0$. Тогда $|x| = 0 \implies x = 0$. Найдём соответствующее значение $y$: $$ y = 2 \cdot 0 - 3 = -3 $$ Получили решение $(0; -3)$. 2) $5u - 12 = 0 \implies u_2 = \dfrac{12}{5} = 2{,}4 \ge 0$. Тогда $|x| = 2{,}4$, откуда получаем два значения: $$ x_1 = 2{,}4, \quad x_2 = -2{,}4 $$ Найдём значение $y$ для обоих случаев: $$ y = 2 \cdot 2{,}4 - 3 = 4{,}8 - 3 = 1{,}8 $$ Получили ещё два решения: $(2{,}4; 1{,}8)$ и $(-2{,}4; 1{,}8)$. Геометрически первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $R = 3$, а второе уравнение $y = 2|x| - 3$ — график с вершиной в точке $(0; -3)$, лежащей на этой окружности, ветви которого направлены вверх и дважды пересекают окружность в верхней полуплоскости. Таким образом, система имеет ровно 3 решения: $(0; -3)$, $(2{,}4; 1{,}8)$ и $(-2{,}4; 1{,}8)$. Ответ: 3 решения.