ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-38. вариант - 4

1. Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 5^{y-3} \cdot 3^{x+4} = 9, \\ y - x = 5. \end{cases} $$ Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения системы: $$ y = x + 5. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ 5^{(x+5)-3} \cdot 3^{x+4} = 9. $$ Упростим показатель степени у основания $5$ и запишем правую часть в виде степени числа $3$: $$ 5^{x+2} \cdot 3^{x+4} = 3^2. $$ Разделим обе части уравнения на $3^2$: $$ 5^{x+2} \cdot 3^{x+4-2} = 1, $$ $$ 5^{x+2} \cdot 3^{x+2} = 1. $$ Используя свойство степени с одинаковым показателем, объединим основания: $$ (5 \cdot 3)^{x+2} = 1, $$ $$ 15^{x+2} = 15^0. $$ Приравниваем показатели: $$ x + 2 = 0, $$ $$ x = -2. $$ Найдем значение $y$: $$ y = -2 + 5 = 3. $$ Ответ: $(-2; 3)$. --- 2. Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 - 3\sqrt[5]{y} = -5, \\ x - \sqrt[5]{y} = -1. \end{cases} $$ Выразим $\sqrt[5]{y}$ из второго уравнения: $$ \sqrt[5]{y} = x + 1. $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x^2 - 3(x + 1) = -5. $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ x^2 - 3x - 3 + 5 = 0, $$ $$ x^2 - 3x + 2 = 0. $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 3, \\ x_1 \cdot x_2 = 2, \end{cases} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 2. $$ Найдем соответствующие значения $y$: 1) Если $x = 1$, то: $$ \sqrt[5]{y} = 1 + 1 = 2, $$ $$ y = 2^5 = 32. $$ 2) Если $x = 2$, то: $$ \sqrt[5]{y} = 2 + 1 = 3, $$ $$ y = 3^5 = 243. $$ Ответ: $(1; 32)$, $(2; 243)$.