ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-39. вариант - 3

### 1. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y + \dfrac{1}{x + 2y} = \dfrac{26}{5}, \\ 3x - \dfrac{1}{x + 2y} = \dfrac{2}{5}. \end{cases} $$ Ограничение: знаменатель дроби не равен нулю, то есть $x + 2y \neq 0$. Введем замену переменной в первом уравнении. Пусть $x + 2y = t$, где $t \neq 0$. Получаем уравнение: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{26}{5} $$ Умножим обе части уравнения на $5t \neq 0$: $$ 5t^2 + 5 = 26t $$ $$ 5t^2 - 26t + 5 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 $$ $$ t_1 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5 $$ $$ t_2 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $$ Рассмотрим два случая: **Случай 1:** $x + 2y = 5$. Тогда $\dfrac{1}{x + 2y} = \dfrac{1}{5}$. Подставим это значение во второе уравнение системы: $$ 3x - \frac{1}{5} = \frac{2}{5} $$ $$ 3x = \frac{3}{5} \implies x = \frac{1}{5} $$ Найдем значение $y$ из равенства $x + 2y = 5$: $$ \frac{1}{5} + 2y = 5 $$ $$ 2y = 5 - \frac{1}{5} = \frac{24}{5} \implies y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} $$ Получили первую пару решений: $\left(\dfrac{1}{5}; \dfrac{12}{5}\right)$ или $(0{,}2; 2{,}4)$. **Случай 2:** $x + 2y = \dfrac{1}{5}$. Тогда $\dfrac{1}{x + 2y} = 5$. Подставим это значение во второе уравнение системы: $$ 3x - 5 = \frac{2}{5} $$ $$ 3x = 5 + \frac{2}{5} = \frac{27}{5} \implies x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} $$ Найдем значение $y$ из равенства $x + 2y = \dfrac{1}{5}$: $$ \frac{9}{5} + 2y = \frac{1}{5} $$ $$ 2y = \frac{1}{5} - \frac{9}{5} = -\frac{8}{5} \implies y = -\frac{4}{5} $$ Получили вторую пару решений: $\left(\dfrac{9}{5}; -\dfrac{4}{5}\right)$ или $(1{,}8; -0{,}8)$. Обе пары удовлетворяют условию $x + 2y \neq 0$. Ответ: $(0{,}2; 2{,}4)$, $(1{,}8; -0{,}8)$. --- ### 2. Выясним, сколько решений имеет система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x = 3, \\ y + 2 = |x - 1|. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, выделив полный квадрат по переменной $x$: $$ (x^2 - 2x + 1) + y^2 = 3 + 1 $$ $$ (x - 1)^2 + y^2 = 4 $$ Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке $(1; 0)$ и радиусом $R = 2$. Из второго уравнения выразим $|x - 1|$: $$ |x - 1| = y + 2 $$ Так как $|x - 1| \ge 0$, должно выполняться условие $y + 2 \ge 0$, то есть $y \ge -2$. Возведем обе части в квадрат: $$ (x - 1)^2 = (y + 2)^2 $$ Подставим выражение $(x - 1)^2 = (y + 2)^2$ в уравнение окружности: $$ (y + 2)^2 + y^2 = 4 $$ $$ y^2 + 4y + 4 + y^2 = 4 $$ $$ 2y^2 + 4y = 0 $$ $$ 2y(y + 2) = 0 $$ Отсюда получаем два возможных значения для $y$: 1. $y_1 = -2$ 2. $y_2 = 0$ Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$: 1. При $y = -2$: $$ |x - 1| = -2 + 2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Получаем 1 решение: $(1; -2)$. 2. При $y = 0$: $$ |x - 1| = 0 + 2 = 2 $$ $$ x - 1 = 2 \implies x = 3 $$ $$ x - 1 = -2 \implies x = -1 $$ Получаем еще 2 решения: $(3; 0)$ и $(-1; 0)$. Всего система имеет 3 решения. Ответ: 3 решения.