ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-38. вариант - 3

1. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x+3} \cdot 3^{y+2} = 8, \\ x - y = 2. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим переменную $x$ через $y$: $$ x = y + 2. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение системы: $$ 2^{(y+2)+3} \cdot 3^{y+2} = 8, $$ $$ 2^{y+5} \cdot 3^{y+2} = 2^3. $$ Разделим обе части уравнения на $2^3$: $$ 2^{y+5-3} \cdot 3^{y+2} = 1, $$ $$ 2^{y+2} \cdot 3^{y+2} = 1. $$ Используя свойство степени с одинаковым показателем, запишем левую часть в виде: $$ (2 \cdot 3)^{y+2} = 1, $$ $$ 6^{y+2} = 6^0. $$ Приравниваем показатели степеней: $$ y + 2 = 0 \implies y = -2. $$ Найдем соответствующее значение $x$: $$ x = -2 + 2 = 0. $$ Ответ: $(0; -2)$. --- 2. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + 2\sqrt[3]{y} = -5, \\ -2x - \sqrt[3]{y} = 1. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $\sqrt[3]{y}$: $$ \sqrt[3]{y} = -2x - 1. $$ Подставим полученное выражение в первое уравнение: $$ x^2 + 2(-2x - 1) = -5. $$ Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $$ x^2 - 4x - 2 = -5, $$ $$ x^2 - 4x + 3 = 0. $$ Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4, $$ $$ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1. $$ Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня: 1) При $x_1 = 3$: $$ \sqrt[3]{y} = -2 \cdot 3 - 1 = -7, $$ $$ y = (-7)^3 = -343. $$ 2) При $x_2 = 1$: $$ \sqrt[3]{y} = -2 \cdot 1 - 1 = -3, $$ $$ y = (-3)^3 = -27. $$ Ответ: $(1; -27), (3; -343)$.