ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-38. вариант - 2

1. $$ \begin{cases} 5^x \cdot 2^y = 20, \\ \log_{\sqrt{3}}(x + y) = 2. \end{cases} $$ Преобразуем второе уравнение системы, используя определение логарифма: ОДЗ: $x + y > 0$. $$ x + y = (\sqrt{3})^2 $$ $$ x + y = 3 $$ Так как $3 > 0$, условие ОДЗ выполняется. Выразим $y$ через $x$: $$ y = 3 - x $$ Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ 5^x \cdot 2^{3 - x} = 20 $$ Используем свойства степени: $2^{3 - x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{2^x}$. $$ 5^x \cdot \frac{8}{2^x} = 20 $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^x \cdot 8 = 20 $$ Разделим обе части уравнения на $8$: $$ \left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{20}{8} $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2} $$ Отсюда находим значение $x$: $$ x = 1 $$ Теперь вычислим значение $y$: $$ y = 3 - 1 = 2 $$ Ответ: $(1; 2)$. --- 2. $$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = 8, \\ 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 7. \end{cases} $$ Введем замену переменных: пусть $u = \sqrt[3]{x}$, $v = \sqrt[3]{y}$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} 3u + 2v = 8, \\ 2u - 2v = 7. \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $$ (3u + 2v) + (2u - 2v) = 8 + 7 $$ $$ 5u = 15 $$ $$ u = 3 $$ Подставим $u = 3$ во второе уравнение системы: $$ 2 \cdot 3 - 2v = 7 $$ $$ 6 - 2v = 7 $$ $$ -2v = 1 $$ $$ v = -\frac{1}{2} $$ Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$ \sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27 $$ $$ \sqrt[3]{y} = -\frac{1}{2} \implies y = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8} $$ Ответ: $\left(27; -\frac{1}{8}\right)$.