ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-39. вариант - 4

1. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3x + y + \frac{1}{3x + y} = \frac{17}{4}, \\ 2y + \frac{1}{3x + y} = \frac{7}{4}. \end{cases} $$ Область допустимых значений: $3x + y \neq 0$. Рассмотрим первое уравнение системы. Введем замену переменной $t = 3x + y$, где $t \neq 0$. Получаем уравнение: $$ t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4} $$ Умножим обе части уравнения на $4t \neq 0$: $$ 4t^2 - 17t + 4 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2 $$ $$ t_1 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4, \quad t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $$ Рассмотрим два случая. **Случай 1:** $3x + y = 4$. Тогда $\frac{1}{3x + y} = \frac{1}{4}$. Подставим это значение во второе уравнение исходной системы: $$ 2y + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} $$ $$ 2y = \frac{7}{4} - \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \implies y = \frac{3}{4} $$ Подставим найденное значение $y$ в равенство $3x + y = 4$: $$ 3x + \frac{3}{4} = 4 \implies 3x = 4 - \frac{3}{4} = \frac{13}{4} \implies x = \frac{13}{12} $$ Получили решение: $\left(\frac{13}{12}; \frac{3}{4}\right)$. **Случай 2:** $3x + y = \frac{1}{4}$. Тогда $\frac{1}{3x + y} = 4$. Подставим это значение во второе уравнение исходной системы: $$ 2y + 4 = \frac{7}{4} $$ $$ 2y = \frac{7}{4} - 4 = -\frac{9}{4} \implies y = -\frac{9}{8} $$ Подставим найденное значение $y$ в равенство $3x + y = \frac{1}{4}$: $$ 3x - \frac{9}{8} = \frac{1}{4} \implies 3x = \frac{2}{8} + \frac{9}{8} = \frac{11}{8} \implies x = \frac{11}{24} $$ Получили решение: $\left(\frac{11}{24}; -\frac{9}{8}\right)$. Ответ: $\left(\frac{13}{12}; \frac{3}{4}\right)$, $\left(\frac{11}{24}; -\frac{9}{8}\right)$. --- 2. Выясним, сколько решений имеет система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 4y = 5, \\ y - \frac{4}{|x|} = 0. \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение системы, выделив полный квадрат: $$ x^2 + (y^2 + 4y + 4) - 4 = 5 $$ $$ x^2 + (y + 2)^2 = 9 $$ Графиком первого уравнения является окружность с центром в точке $(0; -2)$ и радиусом $R = 3$. Так как для любой точки этой окружности выполнено $(y + 2)^2 \le 9$, то: $$ -3 \le y + 2 \le 3 \implies -5 \le y \le 1 $$ Из второго уравнения системы выразим $y$ при условии $x \neq 0$: $$ y = \frac{4}{|x|} $$ Так как $|x| > 0$, получаем, что $y > 0$. С учетом ограничения по первому уравнению $y \le 1$, возможные значения $y$ лежат в промежутке: $$ 0 < y \le 1 $$ Выразим $|x|$ из второго уравнения: $$ |x| = \frac{4}{y} $$ Так как $0 < y \le 1$, то $|x| = \frac{4}{y} \ge \frac{4}{1} = 4$. Однако из уравнения окружности следует: $$ x^2 = 9 - (y + 2)^2 \le 9 \implies |x| \le 3 $$ Получаем противоречие: для точек, удовлетворяющих первому уравнению, $|x| \le 3$, а для точек, удовлетворяющих второму уравнению при допустимых $y$, $|x| \ge 4$. Следовательно, графики уравнений не имеют общих точек, и система не имеет решений. Ответ: 0 решений (решений нет).