ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-35. вариант - 4

### 1. **а)** $6^{\cos 4x} \cdot 6^{\cos 6x} = 6^{\cos 5x}$ Используем свойство степеней с одинаковым основанием в левой части уравнения: $$ 6^{\cos 4x + \cos 6x} = 6^{\cos 5x} $$ Так как основания равны и больше нуля (не равны $1$), приравниваем показатели степеней: $$ \cos 4x + \cos 6x = \cos 5x $$ Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \cos \frac{6x + 4x}{2} \cos \frac{6x - 4x}{2} = \cos 5x $$ $$ 2 \cos 5x \cos x - \cos 5x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos 5x$ за скобки: $$ \cos 5x (2 \cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos 5x = 0$ $$ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $\sqrt{x^2 + 2x + 3} = x^2 + 2x + 1$ Применим метод введения новой переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 2x + 3}$, при этом $t \ge 0$. Возведя обе части замены в квадрат, получим: $$ t^2 = x^2 + 2x + 3 \implies x^2 + 2x = t^2 - 3 $$ Тогда выражение в правой части уравнения: $$ x^2 + 2x + 1 = (t^2 - 3) + 1 = t^2 - 2 $$ Подставим $t$ в исходное уравнение: $$ t = t^2 - 2 $$ $$ t^2 - t - 2 = 0 $$ По теореме Виета корни квадратного уравнения: $$ t_1 = 2, \quad t_2 = -1 $$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -1$ является посторонним корнем. Вернемся к переменной $x$ для $t = 2$: $$ \sqrt{x^2 + 2x + 3} = 2 $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 + 2x + 3 = 4 $$ $$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D_1 = 1^2 - 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 $$ $$ x = -1 \pm \sqrt{2} $$ **Ответ:** $x = -1 \pm \sqrt{2}$. --- ### 2. Решите уравнение $\log_{0,5} x = \sqrt[3]{x - 1}$, используя функционально-графический метод. Область определения уравнения: $x > 0$. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_{0,5} x$ и $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$. 1. Исследуем функции на монотонность на промежутке $(0; +\infty)$: — Функция $f(x) = \log_{0,5} x$ является непрерывной и строго убывающей на $(0; +\infty)$, так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$. — Функция $g(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ является непрерывной и строго возрастающей на всей числовой прямой, в том числе на интервале $(0; +\infty)$. По теореме о корне: если одна функция строго убывает, а вторая строго возрастает на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет на этом промежутке не более одного корня. 2. Для построения графиков функций найдем координаты опорных точек: — Для $y = \log_{0,5} x$: при $x = 0,5 \implies y = 1$; при $x = 1 \implies y = 0$; при $x = 2 \implies y = -1$; при $x = 4 \implies y = -2$. — Для $y = \sqrt[3]{x - 1}$: при $x = 0 \implies y = -1$; при $x = 1 \implies y = 0$; при $x = 2 \implies y = 1$; при $x = 9 \implies y = 2$. 3. Графики функций $y = \log_{0,5} x$ и $y = \sqrt[3]{x - 1}$ пересекаются в единственной точке с координатами $(1; 0)$. Проверим значение $x = 1$: $$ \log_{0,5} 1 = 0, \quad \sqrt[3]{1 - 1} = 0 \implies 0 = 0 \quad (\text{верно}) $$ Следовательно, абсцисса точки пересечения $x = 1$ является единственным корнем исходного уравнения. **Ответ:** $x = 1$.