ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-35. вариант - 3

### 1. Решите уравнение: **а)** $2^{\sin 3x} \cdot 2^{\sin 5x} = 2^{\sin 4x}$ Используем свойство степеней с одинаковым основанием в левой части уравнения: $$ 2^{\sin 3x + \sin 5x} = 2^{\sin 4x} $$ Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ \sin 3x + \sin 5x = \sin 4x $$ Применим формулу суммы синусов $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$: $$ 2 \sin \left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x - 3x}{2}\right) = \sin 4x $$ $$ 2 \sin 4x \cos x = \sin 4x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель: $$ 2 \sin 4x \cos x - \sin 4x = 0 $$ $$ \sin 4x (2 \cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\sin 4x = 0$ $$ 4x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi k}{4}, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- **б)** $x^2 + 3x - 18 + 4\sqrt{x^2 + 3x - 6} = 0$ *(В условии под знаком квадратного корня стоит выражение $x^2 + 3x - 6$)*. Решим уравнение методом замены переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 6}$, где $t \ge 0$. Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 6$. Выразим слагаемые $x^2 + 3x - 18$ через $t^2$: $$ x^2 + 3x - 18 = (x^2 + 3x - 6) - 12 = t^2 - 12 $$ Подставим новую переменную в исходное уравнение: $$ t^2 - 12 + 4t = 0 $$ $$ t^2 + 4t - 12 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = -4 \\ t_1 \cdot t_2 = -12 \end{cases} \implies t_1 = 2, \quad t_2 = -6 $$ Так как $t \ge 0$, значение $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию (посторонний корень). Вернемся к переменной $x$ при $t = 2$: $$ \sqrt{x^2 + 3x - 6} = 2 $$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ x^2 + 3x - 6 = 4 $$ $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases} \implies x_1 = -5, \quad x_2 = 2 $$ **Ответ:** $x_1 = -5; \quad x_2 = 2$. --- ### 2. Решите уравнение $2^x = \sqrt{5 - x}$, используя функционально-графический метод. Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $$ f(x) = 2^x \quad \text{и} \quad g(x) = \sqrt{5 - x} $$ 1. Исследуем свойства функций: - Функция $f(x) = 2^x$ определена на $\mathbb{R}$ и является показательной с основанием $a = 2 > 1$, следовательно, она непрерывна и строго возрастает на всей области определения. - Функция $g(x) = \sqrt{5 - x}$ определена при $5 - x \ge 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 5]$. Она непрерывна и строго убывает на своей области определения. 2. Согласно теореме о корне, если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на некотором промежутке, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет не более одного корня. 3. Для построения графиков составим таблицы значений: - Для $y = 2^x$: | $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $0{,}5$ | $1$ | $2$ | $4$ | - Для $y = \sqrt{5 - x}$: | $x$ | $-4$ | $1$ | $4$ | $5$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | 4. Построим графики функций в одной системе координат. Графики пересекаются в единственной точке с координатами $(1; 2)$. Проверим значение $x = 1$ подстановкой в уравнение: $$ 2^1 = \sqrt{5 - 1} \implies 2 = 2 \quad \text{(верно)} $$ Следовательно, абсцисса точки пересечения $x = 1$ является единственным корнем уравнения. **Ответ:** $x = 1$.