ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-32. вариант - 4

1. Возведём многочлен $P(x, y) = 2x + 3y$ в шестую степень, применив формулу бинома Ньютона: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k $$ Для $n = 6$ коэффициенты бинома (биномиальные коэффициенты) равны: $$ C_6^0 = 1, \quad C_6^1 = 6, \quad C_6^2 = 15, \quad C_6^3 = 20, \quad C_6^4 = 15, \quad C_6^5 = 6, \quad C_6^6 = 1 $$ Запишем разложение выражения $(2x + 3y)^6$: $$ (2x + 3y)^6 = C_6^0 (2x)^6 + C_6^1 (2x)^5 (3y) + C_6^2 (2x)^4 (3y)^2 + C_6^3 (2x)^3 (3y)^3 + C_6^4 (2x)^2 (3y)^4 + C_6^5 (2x) (3y)^5 + C_6^6 (3y)^6 $$ Вычислим каждое слагаемое: 1) $C_6^0 (2x)^6 = 1 \cdot 64x^6 = 64x^6$ 2) $C_6^1 (2x)^5 (3y) = 6 \cdot 32x^5 \cdot 3y = 576x^5y$ 3) $C_6^2 (2x)^4 (3y)^2 = 15 \cdot 16x^4 \cdot 9y^2 = 2160x^4y^2$ 4) $C_6^3 (2x)^3 (3y)^3 = 20 \cdot 8x^3 \cdot 27y^3 = 4320x^3y^3$ 5) $C_6^4 (2x)^2 (3y)^4 = 15 \cdot 4x^2 \cdot 81y^4 = 4860x^2y^4$ 6) $C_6^5 (2x) (3y)^5 = 6 \cdot 2x \cdot 243y^5 = 2916xy^5$ 7) $C_6^6 (3y)^6 = 1 \cdot 729y^6 = 729y^6$ Собирая все слагаемые вместе, получаем: $$ (2x + 3y)^6 = 64x^6 + 576x^5y + 2160x^4y^2 + 4320x^3y^3 + 4860x^2y^4 + 2916xy^5 + 729y^6 $$ Ответ: $64x^6 + 576x^5y + 2160x^4y^2 + 4320x^3y^3 + 4860x^2y^4 + 2916xy^5 + 729y^6$. --- 2. Найдём свободный член (член разложения, не содержащий переменной $x$) в выражении $\left(x - \frac{5}{x^2}\right)^3$. Воспользуемся формулой куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $$ \left(x - \frac{5}{x^2}\right)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot \frac{5}{x^2} + 3 \cdot x \cdot \left(\frac{5}{x^2}\right)^2 - \left(\frac{5}{x^2}\right)^3 $$ Упростим полученные слагаемые: $$ \left(x - \frac{5}{x^2}\right)^3 = x^3 - 15 + 3x \cdot \frac{25}{x^4} - \frac{125}{x^6} = x^3 - 15 + \frac{75}{x^3} - \frac{125}{x^6} $$ Свободным членом является слагаемое, не зависящее от переменной $x$ (то есть при $x^0$). Это слагаемое равно $-15$. Ответ: $-15$.