ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-33. вариант - 3

### Задание 1 Пусть событие $A$ состоит в том, что из первой коробки извлечён золотой шар, а событие $B$ — в том, что из второй коробки извлечён золотой шар. 1. Найдём вероятность события $A$. Всего в первой коробке лежит $12$ шаров, из них $3$ золотых: $$ P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ 2. Найдём вероятность события $B$. Всего во второй коробке лежит $15$ шаров, из них $6$ золотых: $$ P(B) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4 $$ 3. Так как шары извлекаются из разных коробок независимо друг от друга, события $A$ и $B$ являются независимыми. По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что оба вынутых шара окажутся золотыми, равна: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0{,}1 $$ **Ответ:** $0{,}1$ --- ### Задание 2 Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности: $$ P = \frac{S_G}{S} $$ где $S$ — площадь всей фигуры, из которой выбирается точка, а $S_G$ — площадь благоприятной области (той части фигуры, которая лежит ниже прямой $y = x + 2$). 1. Найдём точки пересечения параболы $y = 4 - x^2$ с осью абсцисс ($y = 0$): $$ 4 - x^2 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2 $$ Фигура ограничена сверху параболой $y = 4 - x^2$, а снизу — осью $Ox$ на отрезке $[-2; 2]$. Вычислим её площадь $S$ с помощью определённого интеграла: $$ S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left( 4x - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^{2} = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} $$ 2. Найдём точки пересечения параболы $y = 4 - x^2$ и прямой $y = x + 2$: $$ 4 - x^2 = x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета получаем корни: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ 3. Определим взаимное расположение графиков на отрезке $[-2; 2]$: * На отрезке $[-2; 1]$ парабола лежит выше прямой ($4 - x^2 \ge x + 2$), поэтому часть исходной фигуры, лежащая выше прямой, ограничена снизу этой прямой, а сверху — параболой. * На отрезке $[1; 2]$ парабола лежит ниже прямой ($4 - x^2 \le x + 2$), поэтому вся эта часть фигуры целиком расположена ниже прямой. Проще найти площадь $S_{\text{выше}}$ части фигуры, которая лежит выше прямой $y = x + 2$: $$ S_{\text{выше}} = \int_{-2}^{1} \big((4 - x^2) - (x + 2)\big) \, dx = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx $$ Вычислим данный интеграл: $$ S_{\text{выше}} = \left( 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^{1} = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( -4 - \frac{4}{2} - \frac{-8}{3} \right) $$ $$ S_{\text{выше}} = \frac{7}{6} - \left( -6 + \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} $$ 4. Найдём площадь благоприятной области $S_G$, лежащей ниже прямой: $$ S_G = S - S_{\text{выше}} = \frac{32}{3} - \frac{9}{2} = \frac{64 - 27}{6} = \frac{37}{6} $$ 5. Найдём искомую вероятность: $$ P = \frac{S_G}{S} = \frac{\frac{37}{6}}{\frac{32}{3}} = \frac{37}{6} \cdot \frac{3}{32} = \frac{37}{64} $$ **Ответ:** $\frac{37}{64}$