ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-32. вариант - 2

1. Требуется возвести многочлен $P(x, y) = 2x - y$ в четвертую степень, то есть найти $(2x - y)^4$. Воспользуемся формулой бинома Ньютона для четвертой степени: $$ (a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 $$ В данном случае $a = 2x$, $b = y$. Подставим эти выражения в формулу: $$ (2x - y)^4 = (2x)^4 - 4 \cdot (2x)^3 \cdot y + 6 \cdot (2x)^2 \cdot y^2 - 4 \cdot (2x) \cdot y^3 + y^4 $$ Выполним возведение в степень и умножение коэффициентов: $$ (2x)^4 = 16x^4 $$ $$ 4 \cdot 8x^3 \cdot y = 32x^3y $$ $$ 6 \cdot 4x^2 \cdot y^2 = 24x^2y^2 $$ $$ 4 \cdot 2x \cdot y^3 = 8xy^3 $$ Получаем: $$ (2x - y)^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4 $$ Ответ: $16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$. 2. Запишем общий член разложения бинома $\left(4x + \frac{1}{x}\right)^6$ по формуле: $$ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k $$ В нашем случае $n = 6$, $a = 4x$, $b = \frac{1}{x} = x^{-1}$, где $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. $$ T_{k+1} = C_6^k \cdot (4x)^{6-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot x^{6-k} \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot x^{6-2k} $$ Свободный член разложения не зависит от переменной $x$, то есть степень при $x$ должна быть равна нулю: $$ 6 - 2k = 0 $$ $$ 2k = 6 \implies k = 3 $$ Подставим значение $k = 3$ и вычислим свободный член: $$ T_4 = C_6^3 \cdot 4^{6-3} \cdot x^0 = C_6^3 \cdot 4^3 $$ Найдем число сочетаний $C_6^3$: $$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 $$ Вычислим значение члена: $$ T_4 = 20 \cdot 64 = 1280 $$ Ответ: $1280$.