ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-32. вариант - 1

1. Для возведения многочлена $P(x, y) = x + 2y$ в четвёртую степень применим формулу бинома Ньютона: $$ (a + b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 + C_4^3 a b^3 + C_4^4 b^4 $$ Коэффициенты из треугольника Паскаля для четвёртой степени равны: $1, 4, 6, 4, 1$. Положим $a = x$ и $b = 2y$: $$ (x + 2y)^4 = 1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 (2y) + 6 \cdot x^2 (2y)^2 + 4 \cdot x (2y)^3 + 1 \cdot (2y)^4 $$ Выполним возведение в степени и умножение: $$ (x + 2y)^4 = x^4 + 4 \cdot 2 \cdot x^3 y + 6 \cdot 4 \cdot x^2 y^2 + 4 \cdot 8 \cdot x y^3 + 16 y^4 $$ $$ (x + 2y)^4 = x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 32xy^3 + 16y^4 $$ Ответ: $x^4 + 8x^3y + 24x^2y^2 + 32xy^3 + 16y^4$. --- 2. Найдём свободный член выражения $\left(x - \frac{4}{x}\right)^6$. Свободным членом является слагаемое разложения, не зависящее от переменной $x$ (то есть содержащее $x^0$). Запишем формулу общего члена разложения бинома: $$ T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k $$ В данном случае $a = x$, $b = -\frac{4}{x}$, $n = 6$: $$ T_{k+1} = C_6^k \cdot x^{6-k} \cdot \left(-\frac{4}{x}\right)^k = C_6^k \cdot x^{6-k} \cdot (-4)^k \cdot x^{-k} = C_6^k \cdot (-4)^k \cdot x^{6-2k} $$ Показатель степени переменной $x$ должен быть равен нулю: $$ 6 - 2k = 0 $$ $$ 2k = 6 \implies k = 3 $$ Подставим значение $k = 3$ и вычислим свободный член: $$ T_4 = C_6^3 \cdot (-4)^3 \cdot x^0 $$ Вычислим биномиальный коэффициент $C_6^3$: $$ C_6^3 = \frac{6!}{3!(6 - 3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 $$ Вычислим значение члена: $$ T_4 = 20 \cdot (-64) = -1280 $$ Ответ: $-1280$.