ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-32. вариант - 3

1. Возведём многочлен $P(x, y) = 3x - 2y$ в пятую степень по формуле бинома Ньютона: $$ (a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 $$ Положим $a = 3x$, $b = 2y$: $$ (3x - 2y)^5 = (3x)^5 - 5(3x)^4(2y) + 10(3x)^3(2y)^2 - 10(3x)^2(2y)^3 + 5(3x)(2y)^4 - (2y)^5 $$ Вычислим каждый член: * $(3x)^5 = 243x^5$; * $5(3x)^4(2y) = 5 \cdot 81x^4 \cdot 2y = 810x^4y$; * $10(3x)^3(2y)^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 4y^2 = 1080x^3y^2$; * $10(3x)^2(2y)^3 = 10 \cdot 9x^2 \cdot 8y^3 = 720x^2y^3$; * $5(3x)(2y)^4 = 5 \cdot 3x \cdot 16y^4 = 240xy^4$; * $(2y)^5 = 32y^5$. Получаем: $$ (3x - 2y)^5 = 243x^5 - 810x^4y + 1080x^3y^2 - 720x^2y^3 + 240xy^4 - 32y^5 $$ **Ответ:** $243x^5 - 810x^4y + 1080x^3y^2 - 720x^2y^3 + 240xy^4 - 32y^5$. --- 2. Раскроем куб суммы по формуле сокращённого умножения $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$ \left(x^2 + \frac{5}{x}\right)^3 = (x^2)^3 + 3 \cdot (x^2)^2 \cdot \frac{5}{x} + 3 \cdot x^2 \cdot \left(\frac{5}{x}\right)^2 + \left(\frac{5}{x}\right)^3 $$ Упростим каждое слагаемое: $$ (x^2)^3 = x^6 $$ $$ 3 \cdot x^4 \cdot \frac{5}{x} = 15x^3 $$ $$ 3 \cdot x^2 \cdot \frac{25}{x^2} = 75 $$ $$ \left(\frac{5}{x}\right)^3 = \frac{125}{x^3} $$ Таким образом: $$ \left(x^2 + \frac{5}{x}\right)^3 = x^6 + 15x^3 + 75 + \frac{125}{x^3} $$ Свободным членом является слагаемое, не зависящее от переменной $x$ (содержащее $x^0$), то есть число $75$. **Ответ:** $75$.