ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-26. вариант - 2

### 1. Исследуем функцию $y = \frac{1}{6}x^2 - 3\ln x$ на монотонность и экстремумы. 1) **Область определения функции:** Выражение под знаком натурального логарифма должно быть строго положительным: $$ x > 0 \implies D(y) = (0; +\infty) $$ 2) **Нахождение производной:** $$ y' = \left(\frac{1}{6}x^2 - 3\ln x\right)' = \frac{1}{6} \cdot 2x - 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{3} - \frac{3}{x} = \frac{x^2 - 9}{3x} $$ 3) **Стационарные точки:** Приравняем производную к нулю: $$ \frac{x^2 - 9}{3x} = 0 $$ $$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -3 $$ Точка $x = -3$ не принадлежит области определения функции ($x_2 \notin D(y)$). Значит, стационарная точка одна: $x = 3$. 4) **Исследование знака производной на области определения $(0; +\infty)$:** - На интервале $(0; 3)$: возьмем пробную точку $x = 1$: $y'(1) = \frac{1^2 - 9}{3 \cdot 1} = -\frac{8}{3} < 0$. Производная отрицательна, следовательно, функция убывает. - На интервале $(3; +\infty)$: возьмем пробную точку $x = 4$: $y'(4) = \frac{4^2 - 9}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12} > 0$. Производная положительна, следовательно, функция возрастает. 5) **Экстремумы:** В точке $x = 3$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = 3$ — точка минимума ($x_{\min} = 3$). Найдем значение функции в точке минимума: $$ y_{\min} = y(3) = \frac{1}{6} \cdot 3^2 - 3\ln 3 = \frac{9}{6} - 3\ln 3 = \frac{3}{2} - 3\ln 3 = 1,5 - 3\ln 3 $$ **Ответ:** функция убывает на промежутке $(0; 3]$, возрастает на промежутке $[3; +\infty)$; точка минимума $x_{\min} = 3$, $y_{\min} = 1,5 - 3\ln 3$. --- ### 2. Найдем угловой коэффициент касательной к графику функции $y = 3\ln x + x^{-1}$ в точке $x = 1$. Согласно геометрическому смыслу производной, угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания: $k = y'(x_0)$, где $x_0 = 1$. 1) Найдем производную функции: $$ y' = (3\ln x + x^{-1})' = 3 \cdot \frac{1}{x} + (-1) \cdot x^{-2} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x^2} $$ 2) Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ k = y'(1) = \frac{3}{1} - \frac{1}{1^2} = 3 - 1 = 2 $$ **Ответ:** $k = 2$.