ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-23. вариант - 4

### 1. Решите неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(2x + 5) \geqslant 2$ и укажите его наименьшее целочисленное решение. 1) Найдем область допустимых значений (ОДЗ): подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля: $$ 2x + 5 > 0 \implies 2x > -5 \implies x > -2,5 $$ 2) Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $$ 2x + 5 \leqslant \left(\frac{1}{3}\right)^2 $$ $$ 2x + 5 \leqslant \frac{1}{9} $$ $$ 2x \leqslant \frac{1}{9} - 5 $$ $$ 2x \leqslant -\frac{44}{9} $$ $$ x \leqslant -\frac{22}{9} \quad \left(x \leqslant -2\frac{4}{9}\right) $$ 3) Пересечем полученное решение с ОДЗ: $$ \begin{cases} x > -2,5 \\ x \leqslant -2\frac{4}{9} \end{cases} \implies x \in \left(-2,5; -2\frac{4}{9}\right] $$ Так как $-2,5 < x \leqslant -2,44\dots$, в данном числовом промежутке нет целых чисел (целочисленных решений нет). *(Примечание: если в условии опечатка в знаке степени и неравенство имеет вид $\log_{\frac{1}{3}}(2x + 5) \geqslant -2$, тогда $2x + 5 \leqslant \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 \implies 2x \leqslant 4 \implies x \leqslant 2$. С учетом ОДЗ получаем $x \in (-2,5; 2]$, и тогда наименьшим целочисленным решением является число $-2$.)* **Ответ:** $x \in \left(-2,5; -2\frac{4}{9}\right]$; целочисленных решений нет (при условии $\geqslant -2$ наименьшее целое решение: $-2$). --- ### 2. Решите неравенство $\log_{\sqrt{2}}(x + 5) + \log_{\sqrt{2}}(4 - x) > \log_{\sqrt{2}}(5 - 3x)$ и укажите количество его целочисленных решений. 1) Найдем ОДЗ неравенства: $$ \begin{cases} x + 5 > 0 \\ 4 - x > 0 \\ 5 - 3x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5 \\ x < 4 \\ x < \frac{5}{3} \end{cases} \implies x \in \left(-5; 1\frac{2}{3}\right) $$ 2) Используем свойство суммы логарифмов: $$ \log_{\sqrt{2}}\bigl((x + 5)(4 - x)\bigr) > \log_{\sqrt{2}}(5 - 3x) $$ Так как основание логарифма $\sqrt{2} > 1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется: $$ (x + 5)(4 - x) > 5 - 3x $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 4x - x^2 + 20 - 5x > 5 - 3x $$ $$ -x^2 - x + 20 > 5 - 3x $$ $$ -x^2 + 2x + 15 > 0 $$ Разделим обе части на $-1$, изменив знак неравенства: $$ x^2 - 2x - 15 < 0 $$ Корни квадратного трехчлена по теореме Виета: $x_1 = -3$, $x_2 = 5$. $$ (x + 3)(x - 5) < 0 \implies x \in (-3; 5) $$ 3) Пересечем полученный интервал с ОДЗ: $$ x \in (-3; 5) \cap \left(-5; 1\frac{2}{3}\right) \implies x \in \left(-3; 1\frac{2}{3}\right) $$ 4) Найдем целочисленные решения из этого интервала: $$ x \in \{-2; -1; 0; 1\} $$ Всего $4$ целых решения. **Ответ:** $x \in \left(-3; 1\frac{2}{3}\right)$; количество целочисленных решений: 4. --- ### 3. Решите неравенство $\log_{0,5}^2(x - 5) + 6 \log_{0,5}(x - 5) < -8$. 1) ОДЗ: $x - 5 > 0 \implies x > 5$. 2) Введем замену переменной: пусть $t = \log_{0,5}(x - 5)$. Тогда неравенство принимает вид: $$ t^2 + 6t + 8 < 0 $$ Найдем корни уравнения $t^2 + 6t + 8 = 0$ по теореме Виета: $t_1 = -4$, $t_2 = -2$. Решением квадратного неравенства является интервал: $$ -4 < t < -2 $$ 3) Выполним обратную замену: $$ -4 < \log_{0,5}(x - 5) < -2 $$ Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, при потенцировании знаки неравенств меняются на противоположные: $$ (0,5)^{-2} > x - 5 > (0,5)^{-4} $$ Вычислим степени: $(0,5)^{-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, а $(0,5)^{-4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 16$: $$ 4 < x - 5 < 16 $$ Прибавим $5$ ко всем частям двойного неравенства: $$ 9 < x < 21 $$ Все значения удовлетворяют ОДЗ ($x > 5$). **Ответ:** $x \in (9; 21)$.