ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-23. вариант - 3

### 1. Решите неравенство $\log_{0,5}(1 - 3x) \geqslant -2$ и укажите его наибольшее целочисленное решение. 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ 1 - 3x > 0 \implies 3x < 1 \implies x < \frac{1}{3} $$ 2. Решим неравенство. Так как основание логарифма $0 < 0,5 < 1$, то логарифмическая функция убывает, и при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 1 - 3x \leqslant 0,5^{-2} $$ $$ 1 - 3x \leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} $$ $$ 1 - 3x \leqslant 4 $$ $$ -3x \leqslant 3 $$ $$ x \geqslant -1 $$ 3. С учётом ОДЗ получаем решение неравенства: $$ x \in \left[-1; \frac{1}{3}\right) $$ 4. Целыми решениями неравенства из этого полуинтервала являются числа $-1$ и $0$ (так как $-1 \leqslant 0 < \frac{1}{3}$). Наибольшим из них является $0$. **Ответ:** решением неравенства является промежуток $\left[-1; \frac{1}{3}\right)$; наибольшее целочисленное решение: $0$. --- ### 2. Решите неравенство $\lg (x - 4) + \lg(x - 3) > \lg(17 - 3x)$ и укажите количество его целочисленных решений. 1. Найдём ОДЗ неравенства, составив систему: $$ \begin{cases} x - 4 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ 17 - 3x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x > 3 \\ x < 5\dfrac{2}{3} \end{cases} \implies x \in \left(4; 5\dfrac{2}{3}\right) $$ 2. Используя свойство логарифма $\lg a + \lg b = \lg(ab)$, преобразуем левую часть неравенства: $$ \lg((x - 4)(x - 3)) > \lg(17 - 3x) $$ Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ (x - 4)(x - 3) > 17 - 3x $$ $$ x^2 - 7x + 12 > 17 - 3x $$ $$ x^2 - 4x - 5 > 0 $$ 3. Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 4x - 5 = 0$: $$ (x - 5)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 5 $$ Решением неравенства $(x - 5)(x + 1) > 0$ является: $$ x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty) $$ 4. Найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $$ \left(4; 5\dfrac{2}{3}\right) \cap \Big((-\infty; -1) \cup (5; +\infty)\Big) = \left(5; 5\dfrac{2}{3}\right) $$ 5. В интервале $\left(5; 5\dfrac{2}{3}\right)$ нет целых чисел (следующее целое число после $5$ — это $6$, а $6 > 5\dfrac{2}{3}$). Следовательно, количество целочисленных решений равно $0$. **Ответ:** решением неравенства является промежуток $\left(5; 5\dfrac{2}{3}\right)$; количество целочисленных решений: $0$. --- ### 3. Решите неравенство $\log_2^2(x + 1) - 3\log_2(x + 1) \geqslant -2$. 1. Найдём ОДЗ: $$ x + 1 > 0 \implies x > -1 $$ 2. Введём замену переменной: пусть $t = \log_2(x + 1)$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 - 3t + 2 \geqslant 0 $$ 3. Найдём корни уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$ по теореме Виета: $$ t_1 = 1, \quad t_2 = 2 $$ Решение неравенства относительно $t$: $$ t \leqslant 1 \quad \text{или} \quad t \geqslant 2 $$ 4. Выполним обратную замену: * Случай 1: $$ \log_2(x + 1) \leqslant 1 $$ Так как основание $2 > 1$: $$ x + 1 \leqslant 2^1 \implies x \leqslant 1 $$ С учётом ОДЗ ($x > -1$): $$ x \in (-1; 1] $$ * Случай 2: $$ \log_2(x + 1) \geqslant 2 $$ Так как основание $2 > 1$: $$ x + 1 \geqslant 2^2 \implies x + 1 \geqslant 4 \implies x \geqslant 3 $$ (условие $x > -1$ при этом выполняется автоматически). 5. Объединяем найденные промежутки: $$ x \in (-1; 1] \cup [3; +\infty) $$ **Ответ:** $x \in (-1; 1] \cup [3; +\infty)$.