ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-20. вариант - 4

### 1. Вычислите: **а)** $\lg 20 + \lg 2 - \lg 0,04$ Используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: $\lg a + \lg b = \lg(ab)$ и $\lg a - \lg b = \lg\left(\frac{a}{b}\right)$. $$ \lg 20 + \lg 2 - \lg 0,04 = \lg(20 \cdot 2) - \lg 0,04 = \lg 40 - \lg 0,04 $$ $$ \lg\left(\frac{40}{0,04}\right) = \lg\left(\frac{4000}{4}\right) = \lg 1000 = \lg 10^3 = 3 $$ Ответ: $3$. **б)** $\frac{\lg \log_{\sqrt{2}} 32}{4^{1,5 - \log_2 5}}$ Вычислим значение числителя: 1. Так как $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ и $32 = 2^5$, по свойству $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$: $$ \log_{\sqrt{2}} 32 = \log_{2^{1/2}} 2^5 = \frac{5}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = 10 \cdot 1 = 10 $$ 2. Тогда числитель равен: $$ \lg 10 = 1 $$ Вычислим значение знаменателя: Используем свойства степеней и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $$ 4^{1,5 - \log_2 5} = \frac{4^{1,5}}{4^{\log_2 5}} = \frac{(2^2)^{1,5}}{(2^2)^{\log_2 5}} = \frac{2^{2 \cdot 1,5}}{(2^{\log_2 5})^2} = \frac{2^3}{5^2} = \frac{8}{25} = 0,32 $$ Найдём значение всей дроби: $$ \frac{1}{0,32} = \frac{100}{32} = \frac{25}{8} = 3,125 $$ Ответ: $3,125$ (или $3\frac{1}{8}$). --- ### 2. Выразите значение выражения $\log_6 56$ через $c$ и $d$, если $c = \log_6 7$, $d = \log_6 2$. Разложим подлогарифмическое число $56$ на простые множители: $$ 56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $$ Применим формулу логарифма произведения и степени: $$ \log_6 56 = \log_6 (2^3 \cdot 7) = \log_6 (2^3) + \log_6 7 = 3\log_6 2 + \log_6 7 $$ Подставим заданные значения $d = \log_6 2$ и $c = \log_6 7$: $$ \log_6 56 = 3d + c $$ Ответ: $c + 3d$. --- ### 3. Прологарифмируйте выражение $\frac{625x^4}{\sqrt[3]{y^2}}$ по основанию $0,2$. Предполагается, что переменные принимают положительные значения ($x > 0$, $y > 0$). Запишем логарифм частного: $$ \log_{0,2}\left(\frac{625x^4}{\sqrt[3]{y^2}}\right) = \log_{0,2}(625x^4) - \log_{0,2}\left(\sqrt[3]{y^2}\right) $$ Применим свойства логарифма произведения и логарифма степени: $$ \log_{0,2} 625 + \log_{0,2}(x^4) - \log_{0,2}\left(y^{2/3}\right) = \log_{0,2} 625 + 4\log_{0,2} x - \frac{2}{3}\log_{0,2} y $$ Преобразуем числовое слагаемое $\log_{0,2} 625$, учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, а $625 = 5^4$: $$ \log_{0,2} 625 = \log_{5^{-1}} (5^4) = \frac{4}{-1}\log_5 5 = -4 $$ Подставим полученное значение: $$ -4 + 4\log_{0,2} x - \frac{2}{3}\log_{0,2} y $$ Ответ: $-4 + 4\log_{0,2} x - \frac{2}{3}\log_{0,2} y$.