ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-20. вариант - 2

1. Вычислите: a) $\log_5 75 - \log_5 9 + \log_5 15$ Используем свойства логарифма: сумму логарифмов заменяем логарифмом произведения, а разность — логарифмом частного: $$ \log_5 75 - \log_5 9 + \log_5 15 = \log_5 \left(\frac{75 \cdot 15}{9}\right) $$ Сократим дробь: $$ \frac{75 \cdot 15}{9} = \frac{75 \cdot 5}{3} = 25 \cdot 5 = 125 $$ Вычислим значение логарифма: $$ \log_5 125 = \log_5 (5^3) = 3 $$ Ответ: $3$. b) $\left(8^{\frac{1}{3} + \log_2 3}\right) : \log_2 \log_3 81$ Вычислим делимое, применив свойство степени с основанием $2$: $$ 8^{\frac{1}{3} + \log_2 3} = (2^3)^{\frac{1}{3} + \log_2 3} = 2^{3 \cdot \left(\frac{1}{3} + \log_2 3\right)} = 2^{1 + 3\log_2 3} = 2^1 \cdot 2^{\log_2 3^3} $$ По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2 27} = 27$: $$ 2 \cdot 27 = 54 $$ Вычислим делитель по действиям: $$ \log_3 81 = \log_3 (3^4) = 4 $$ $$ \log_2 (\log_3 81) = \log_2 4 = 2 $$ Выполним деление: $$ 54 : 2 = 27 $$ Ответ: $27$. 2. Выразим значение выражения $\lg 0,007$ через $k$, если $k = \lg 7$. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби $\frac{7}{1000}$: $$ \lg 0,007 = \lg \left(\frac{7}{1000}\right) $$ Применим свойство логарифма частного $\lg\left(\frac{a}{b}\right) = \lg a - \lg b$: $$ \lg \left(\frac{7}{1000}\right) = \lg 7 - \lg 1000 = \lg 7 - \lg (10^3) = \lg 7 - 3 $$ Подставим $k = \lg 7$: $$ \lg 0,007 = k - 3 $$ Ответ: $k - 3$. 3. Прологарифмируем выражение $\frac{1}{64} b^{5 \frac{3}{2}} \sqrt[3]{a}$ по основанию 4 при условии, что $a > 0$ и $b > 0$. Запишем показатель степени переменной $b$ в виде неправильной дроби: $5\frac{3}{2} = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$. Корень третьей степени представим в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. Применим свойство логарифма произведения $\log_4 (x \cdot y \cdot z) = \log_4 x + \log_4 y + \log_4 z$: $$ \log_4 \left(\frac{1}{64} b^{\frac{13}{2}} a^{\frac{1}{3}}\right) = \log_4 \left(\frac{1}{64}\right) + \log_4 \left(b^{\frac{13}{2}}\right) + \log_4 \left(a^{\frac{1}{3}}\right) $$ Вычислим и преобразуем каждое слагаемое: 1) $\log_4 \left(\frac{1}{64}\right) = \log_4 (4^{-3}) = -3$; 2) $\log_4 \left(b^{\frac{13}{2}}\right) = \frac{13}{2} \log_4 b = 6,5 \log_4 b$; 3) $\log_4 \left(a^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3} \log_4 a$. Соберем результат: $$ -3 + \frac{13}{2} \log_4 b + \frac{1}{3} \log_4 a $$ *(Примечание: если в условии опечатка в показателе и выражение имеет вид $\frac{1}{64} b^5 \sqrt[3]{a}$, то результатом логарифмирования будет $-3 + 5 \log_4 b + \frac{1}{3} \log_4 a$)*. Ответ: $-3 + \frac{13}{2} \log_4 b + \frac{1}{3} \log_4 a$.