ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-21. вариант - 3

### 1. $\lg(5x - 4) = \lg(1 - x)$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 5x - 4 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 5x > 4 \\ x < 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 0{,}8 \\ x < 1 \end{cases} \iff x \in (0{,}8; 1) $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма: $$ 5x - 4 = 1 - x $$ $$ 5x + x = 1 + 4 $$ $$ 6x = 5 $$ $$ x = \frac{5}{6} $$ Проверим принадлежность найденного корня ОДЗ: $\frac{5}{6} = \frac{25}{30}$, а $0{,}8 = \frac{4}{5} = \frac{24}{30}$. Так как $\frac{24}{30} < \frac{25}{30} < 1$, значение $x = \frac{5}{6}$ принадлежит интервалу $(0{,}8; 1)$. Ответ: $\frac{5}{6}$. --- ### 2. $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 3x - 9) = -2$ По определению логарифма: $$ x^2 + 3x - 9 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $$ $$ x^2 + 3x - 9 = 3^2 $$ $$ x^2 + 3x - 9 = 9 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $$ x^2 + 3x - 18 = 0 $$ По теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -6 $$ Заметим, что при этих значениях выражение $x^2 + 3x - 9$ равно $9 > 0$, следовательно, оба корня удовлетворяют условию существования логарифма. Ответ: $-6;\ 3$. --- ### 3. $1 + \log_2(x + 1) = \log_2(7x + 2) - \log_2(x - 1)$ Найдем ОДЗ уравнения: $$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ 7x + 2 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -1 \\ x > -\frac{2}{7} \\ x > 1 \end{cases} \iff x > 1 $$ Перенесем слагаемое $-\log_2(x - 1)$ в левую часть уравнения: $$ 1 + \log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) = \log_2(7x + 2) $$ Представим число $1$ в виде $\log_2 2$ и применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_2 2 + \log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) = \log_2(7x + 2) $$ $$ \log_2(2(x + 1)(x - 1)) = \log_2(7x + 2) $$ $$ \log_2(2(x^2 - 1)) = \log_2(7x + 2) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ 2(x^2 - 1) = 7x + 2 $$ $$ 2x^2 - 2 = 7x + 2 $$ $$ 2x^2 - 7x - 4 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $$ $$ x_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0{,}5 $$ С учетом ОДЗ ($x > 1$): - $x = -0{,}5$ не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень); - $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 1$). Ответ: $4$.