ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-20. вариант - 3

### 1. Вычислите: **а)** $\log_6 108 + \log_6 12 - 1$ Используем свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ и представим единицу как $\log_6 6$: $$ \log_6 108 + \log_6 12 - 1 = \log_6 (108 \cdot 12) - \log_6 6 = \log_6 1296 - \log_6 6 $$ Используем свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)$: $$ \log_6 \left(\frac{1296}{6}\right) = \log_6 216 $$ Так как $216 = 6^3$, получаем: $$ \log_6 216 = 3 $$ Ответ: $3$. --- **б)** $4^{0,5 - \log_2 5} - \log_3 \log_5 \sqrt[3]{5}$ Вычислим значение выражения по действиям: 1) Преобразуем первое слагаемое с помощью свойств степени и основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$: $$ 4^{0,5 - \log_2 5} = 4^{0,5} \cdot 4^{-\log_2 5} = \sqrt{4} \cdot \left(2^2\right)^{-\log_2 5} = 2 \cdot 2^{-2\log_2 5} = 2 \cdot 2^{\log_2 (5^{-2})} $$ $$ 2 \cdot 5^{-2} = 2 \cdot \frac{1}{25} = \frac{2}{25} = 0,08 $$ 2) Преобразуем второе слагаемое: $$ \log_5 \sqrt[3]{5} = \log_5 5^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} $$ $$ \log_3 \left(\log_5 \sqrt[3]{5}\right) = \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = \log_3 3^{-1} = -1 $$ 3) Найдём разность: $$ 0,08 - (-1) = 0,08 + 1 = 1,08 $$ Ответ: $1,08$. --- ### 2. Выразите значение выражения $\log_7 75$ через $a$ и $b$, если $a = \log_7 5$, $b = \log_7 3$. Разложим число $75$ на простые множители: $75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$. Применим свойства логарифма произведения $\log_c (xy) = \log_c x + \log_c y$ и логарифма степени $\log_c (x^k) = k \log_c x$: $$ \log_7 75 = \log_7 (5^2 \cdot 3) = \log_7 (5^2) + \log_7 3 = 2\log_7 5 + \log_7 3 $$ Подставим заданные значения $a = \log_7 5$ и $b = \log_7 3$: $$ 2\log_7 5 + \log_7 3 = 2a + b $$ Ответ: $2a + b$. --- ### 3. Прологарифмируйте выражение $\frac{216\sqrt[5]{a^2}}{b^3}$ по основанию $\sqrt{6}$. Пусть $a > 0$, $b > 0$. Запишем логарифм данного выражения по основанию $\sqrt{6}$: $$ \log_{\sqrt{6}} \left(\frac{216\sqrt[5]{a^2}}{b^3}\right) $$ Используем свойства логарифма частного, произведения и степени: $$ \log_{\sqrt{6}} \left(\frac{216\sqrt[5]{a^2}}{b^3}\right) = \log_{\sqrt{6}} 216 + \log_{\sqrt{6}} \left(a^{\frac{2}{5}}\right) - \log_{\sqrt{6}} \left(b^3\right) $$ $$ = \log_{\sqrt{6}} 216 + \frac{2}{5}\log_{\sqrt{6}} a - 3\log_{\sqrt{6}} b $$ Вычислим первое слагаемое: так как $216 = 6^3$, а $6 = (\sqrt{6})^2$, имеем $216 = ((\sqrt{6})^2)^3 = (\sqrt{6})^6$: $$ \log_{\sqrt{6}} 216 = \log_{\sqrt{6}} (\sqrt{6})^6 = 6 $$ Перейдём в оставшихся слагаемых к более простому основанию $6$, учитывая формулу $\log_{c^k} x = \frac{1}{k}\log_c x$ (так как $\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$, то $\log_{\sqrt{6}} x = 2\log_6 x$): $$ \frac{2}{5}\log_{\sqrt{6}} a = \frac{2}{5} \cdot 2\log_6 a = \frac{4}{5}\log_6 a = 0,8\log_6 a $$ $$ 3\log_{\sqrt{6}} b = 3 \cdot 2\log_6 b = 6\log_6 b $$ Объединяя слагаемые, получаем: $$ 6 + 0,8\log_6 a - 6\log_6 b $$ Ответ: $6 + \frac{2}{5}\log_{\sqrt{6}} a - 3\log_{\sqrt{6}} b$ (или $6 + 0,8\log_6 a - 6\log_6 b$).