ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-20. вариант - 1

### 1. Вычислите: **а)** $\log_3 6 + \log_3 18 - \log_3 4$ Используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием ($\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a\frac{b}{c}$): $$ \log_3 6 + \log_3 18 - \log_3 4 = \log_3 \left(\frac{6 \cdot 18}{4}\right) = \log_3 \left(\frac{108}{4}\right) = \log_3 27 $$ Так как $27 = 3^3$, получаем: $$ \log_3 27 = 3 $$ Ответ: $3$. --- **б)** $9^{0,5 - \log_3 2} - \log_3 \log_2 8$ Вычислим значение выражения по действиям: 1. Преобразуем первое слагаемое с помощью свойств степеней и основного логарифмического тождества: $$ 9^{0,5 - \log_3 2} = \frac{9^{0,5}}{9^{\log_3 2}} = \frac{\sqrt{9}}{(3^2)^{\log_3 2}} = \frac{3}{3^{2\log_3 2}} = \frac{3}{3^{\log_3 2^2}} = \frac{3}{3^{\log_3 4}} = \frac{3}{4} = 0,75 $$ 2. Преобразуем второе слагаемое: Так как $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = 3$. Тогда: $$ \log_3 \log_2 8 = \log_3 3 = 1 $$ 3. Найдем разность: $$ 0,75 - 1 = -0,25 $$ Ответ: $-0,25$. --- ### 2. Выразите значение выражения $\lg 300$ через $m$, если $m = \lg 3$. Представим число $300$ в виде произведения $3 \cdot 100$ и применим свойство логарифма произведения ($\lg(ab) = \lg a + \lg b$): $$ \lg 300 = \lg(3 \cdot 100) = \lg 3 + \lg 100 $$ Так как $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$, а по условию $\lg 3 = m$, получаем: $$ \lg 300 = m + 2 $$ Ответ: $m + 2$. --- ### 3. Прологарифмируйте выражение $1000x^3\sqrt{y}$ по основанию 10 (при $x > 0$, $y > 0$). Применим свойства десятичного логарифма произведения и степени: $$ \lg\left(1000x^3\sqrt{y}\right) = \lg 1000 + \lg\left(x^3\right) + \lg\left(\sqrt{y}\right) $$ Преобразуем каждое слагаемое: - $\lg 1000 = \lg 10^3 = 3$; - $\lg\left(x^3\right) = 3\lg x$; - $\lg\left(\sqrt{y}\right) = \lg\left(y^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\lg y = 0,5\lg y$. Объединяя слагаемые, получаем: $$ \lg\left(1000x^3\sqrt{y}\right) = 3 + 3\lg x + 0,5\lg y $$ Ответ: $3 + 3\lg x + 0,5\lg y$.