ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-21. вариант - 2

1. $\log_5 (3x - 4) = \log_5 (12 - 5x)$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 3x - 4 > 0, \\ 12 - 5x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > \dfrac{4}{3}, \\ x < 2{,}4 \end{cases} \iff 1\dfrac{1}{3} < x < 2{,}4 $$ Так как основания логарифмов равны, приравняем их подлогарифмические выражения: $$ 3x - 4 = 12 - 5x $$ $$ 3x + 5x = 12 + 4 $$ $$ 8x = 16 $$ $$ x = 2 $$ Значение $x = 2$ удовлетворяет условию $1\dfrac{1}{3} < 2 < 2{,}4$ (входит в ОДЗ). Ответ: $2$. --- 2. $\log_3 (x^2 + 3x - 7) = 1$ По определению логарифма: $$ x^2 + 3x - 7 = 3^1 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ x^2 + 3x - 10 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3, \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases} $$ Отсюда получаем корни: $$ x_1 = -5, \quad x_2 = 2 $$ Поскольку $x^2 + 3x - 7 = 3 > 0$, подлогарифмическое выражение положительно для обоих найденных значений, значит, оба корня являются решениями. Ответ: $-5;\ 2$. --- 3. $\lg(x - 1) + \lg(x + 1) = \lg(9x + 9)$ Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ x + 1 > 0, \\ 9x + 9 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1, \\ x > -1, \\ x > -1 \end{cases} \iff x > 1 $$ Применим свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$: $$ \lg((x - 1)(x + 1)) = \lg(9x + 9) $$ Приравняем подлогарифмические выражения: $$ (x - 1)(x + 1) = 9x + 9 $$ Воспользуемся формулой разности квадратов в левой части: $$ x^2 - 1 = 9x + 9 $$ $$ x^2 - 9x - 10 = 0 $$ Найдём корни по теореме Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 9, \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases} $$ $$ x_1 = 10, \quad x_2 = -1 $$ Проверим корни с учётом ОДЗ ($x > 1$): * $x = 10$ входит в ОДЗ ($10 > 1$); * $x = -1$ не входит в ОДЗ (является посторонним корнем). Ответ: $10$.