ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-19. вариант - 4

1. Область определения логарифмической функции состоит из всех значений переменной, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно. Запишем неравенство: $$x^2 - 6x + 9 > 0$$ Свернем выражение в левой части по формуле квадрата разности: $$(x - 3)^2 > 0$$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - 3)^2 \geqslant 0$ при всех действительных $x$. Следовательно, строгое неравенство не выполняется только тогда, когда выражение равно нулю: $$x - 3 \neq 0 \iff x \neq 3$$ Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$ --- 2. Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{0,9} t$. Так как основание логарифма удовлетворяет условию $0 < 0,9 < 1$, данная функция является убывающей на всей своей области определения $(0; +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним аргументы логарифмов: Число $\pi \approx 3,1416$, следовательно: $$\pi < 3,15$$ Так как функция убывает и $\pi < 3,15$, то: $$\log_{0,9} \pi > \log_{0,9} 3,15$$ Ответ: $\log_{0,9} \pi > \log_{0,9} 3,15$ --- 3. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) \geqslant \frac{1}{3}x - 2$ графически. Найдем область допустимых значений неравенства: $$x + 1 > 0 \iff x > -1$$ Построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{4}}(x + 1)$ и $y_2 = \frac{1}{3}x - 2$. 1) График функции $y_1 = \log_{\frac{1}{4}}(x + 1)$ получается сдвигом графика функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ на $1$ единицу влево вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота — прямая $x = -1$. Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция монотонно убывает на промежутке $(-1; +\infty)$. Составим таблицу точек: - если $x = -\frac{3}{4} = -0,75$, то $y_1 = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} = 1$; - если $x = 0$, то $y_1 = \log_{\frac{1}{4}} 1 = 0$; - если $x = 3$, то $y_1 = \log_{\frac{1}{4}} 4 = -1$. 2) График функции $y_2 = \frac{1}{3}x - 2$ — прямая линия. Функция монотонно возрастает. Составим таблицу точек: - если $x = 0$, то $y_2 = \frac{1}{3} \cdot 0 - 2 = -2$; - если $x = 3$, то $y_2 = \frac{1}{3} \cdot 3 - 2 = -1$; - если $x = 6$, то $y_2 = \frac{1}{3} \cdot 6 - 2 = 0$. 3) Графики пересекаются в точке с абсциссой $x = 3$, так как: $$y_1(3) = \log_{\frac{1}{4}}(3 + 1) = -1$$ $$y_2(3) = \frac{1}{3} \cdot 3 - 2 = -1$$ Так как функция $y_1$ строго убывает, а $y_2$ строго возрастает, эта точка пересечения единственна. Неравенство $\log_{\frac{1}{4}}(x + 1) \geqslant \frac{1}{3}x - 2$ выполняется для тех $x$, при которых график функции $y_1$ расположен выше графика прямой $y_2$ или совпадает с ним. С учетом ОДЗ ($x > -1$) получаем промежуток: $$-1 < x \leqslant 3$$ Ответ: $(-1; 3]$