ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-19. вариант - 2

### 1. Область определения логарифмической функции $y = \lg(f(x))$ задается условием строго положительного значения подлогарифмического выражения: $$ 3 - 2x - x^2 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$ x^2 + 2x - 3 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 3 = 0$ с помощью теоремы Виета: $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 \cdot x_2 = -3 \end{cases} \implies x_1 = -3,\quad x_2 = 1 $$ Разложим левую часть неравенства на множители: $$ (x + 3)(x - 1) < 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: парабола направлена ветвями вверх, следовательно, выражение принимает отрицательные значения между своими нулями: $$ x \in (-3; 1) $$ **Ответ:** $(-3; 1)$ --- ### 2. Представим число $1$ в виде логарифма по основанию $6$: $$ 1 = \log_6 6 $$ Рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_6 x$. Поскольку её основание $6 > 1$, функция является возрастающей на всей области определения $(0; +\infty)$. Сравним аргументы: так как $\frac{1}{5} < 6$, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции: $$ \log_6 \frac{1}{5} < \log_6 6 $$ Следовательно: $$ \log_6 \frac{1}{5} < 1 $$ **Ответ:** $\log_6 \frac{1}{5} < 1$ --- ### 3. Решим неравенство $\log_3 x > 2 - \frac{1}{3}x$ графически. Область определения неравенства: $x > 0$. Рассмотрим две функции в области $x > 0$: 1. $y_1 = \log_3 x$ — логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, монотонно возрастает на промежутке $(0; +\infty)$. Составим таблицу значений: - при $x = \frac{1}{3}$: $y_1 = \log_3 \frac{1}{3} = -1$; - при $x = 1$: $y_1 = \log_3 1 = 0$; - при $x = 3$: $y_1 = \log_3 3 = 1$; - при $x = 9$: $y_1 = \log_3 9 = 2$. 2. $y_2 = 2 - \frac{1}{3}x$ — линейная функция, графиком является прямая, монотонно убывающая на $\mathbb{R}$. Составим таблицу значений: - при $x = 0$: $y_2 = 2$; - при $x = 3$: $y_2 = 2 - \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$; - при $x = 6$: $y_2 = 2 - \frac{1}{3} \cdot 6 = 0$. Построим графики функций $y_1$ и $y_2$ в одной системе координат. Так как функция $y_1$ строго возрастает, а функция $y_2$ строго убывает, уравнение $\log_3 x = 2 - \frac{1}{3}x$ имеет не более одного корня. Подстановкой убеждаемся, что при $x = 3$: $$ y_1(3) = 1,\quad y_2(3) = 1 $$ Точка пересечения графиков имеет координаты $(3; 1)$. Неравенство $\log_3 x > 2 - \frac{1}{3}x$ выполняется для тех значений $x$, при которых график логарифмической функции $y_1 = \log_3 x$ расположен строго выше графика прямой $y_2 = 2 - \frac{1}{3}x$. По построенным графикам видно, что это происходит при всех $x > 3$. **Ответ:** $(3; +\infty)$