ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-12. вариант - 4

**1.** По условию значение функции равно $\frac{\sqrt[3]{4}}{16}$. Составим уравнение: $$ \left(\frac{1}{4}\right)^x = \frac{\sqrt[3]{4}}{16} $$ Представим обе части уравнения в виде степени с основанием $4$: $$ \left(4^{-1}\right)^x = \frac{4^{\frac{1}{3}}}{4^2} $$ $$ 4^{-x} = 4^{\frac{1}{3} - 2} $$ $$ 4^{-x} = 4^{-\frac{5}{3}} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ -x = -\frac{5}{3} $$ $$ x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} $$ Ответ: $x = 1\frac{2}{3}$. --- **2.** Представим число $1$ как степень с основанием $\frac{7}{5}$: $$ 1 = \left(\frac{7}{5}\right)^0 $$ Рассмотрим показательную функцию $y = \left(\frac{7}{5}\right)^x$. Так как основание $a = \frac{7}{5} = 1,4 > 1$, эта функция является возрастающей на всей числовой прямой. Сравним показатели: $0,01 > 0$. Так как функция возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции: $$ \left(\frac{7}{5}\right)^{0,01} > \left(\frac{7}{5}\right)^0 $$ Следовательно, $\left(\frac{7}{5}\right)^{0,01} > 1$. Ответ: $\left(\frac{7}{5}\right)^{0,01} > 1$. --- **3.** Функция $y = \left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}\right)^x$ является показательной функцией вида $y = a^x$, где основание $a = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}$. Характер монотонности показательной функции зависит от значения основания $a$: * если $a > 1$, то функция возрастает; * если $0 < a < 1$, то функция убывает. Определим, больше или меньше единицы основание $a$: Угол $\frac{\pi}{12}$ лежит в первой четверти, при этом $0 < \frac{\pi}{12} < \frac{\pi}{4}$. Функция котангенса $y = \operatorname{ctg} t$ убывает на интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, поэтому: $$ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{12} > \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1 $$ *(Действительно, $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{12} = \operatorname{ctg} 15^\circ = 2 + \sqrt{3} > 1$)*. Так как основание $a = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{12} > 1$, функция $y = \left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{12}\right)^x$ возрастает на всей области определения $x \in (-\infty; +\infty)$. Ответ: функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.