ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-12. вариант - 2

1. По условию значение функции равно $\sqrt[3]{36}$. Составим уравнение: $$ \left(\frac{1}{6}\right)^x = \sqrt[3]{36} $$ Приведём обе части уравнения к степени с основанием $6$: $$ \left(\frac{1}{6}\right)^x = (6^{-1})^x = 6^{-x} $$ $$ \sqrt[3]{36} = \sqrt[3]{6^2} = 6^{\frac{2}{3}} $$ Получаем: $$ 6^{-x} = 6^{\frac{2}{3}} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ -x = \frac{2}{3} \implies x = -\frac{2}{3} $$ Ответ: $x = -\frac{2}{3}$. --- 2. Рассмотрим показательную функцию $y = \left(\frac{4}{3}\right)^t$. Так как её основание $\frac{4}{3} > 1$, данная функция является строго возрастающей на всей числовой прямой, то есть большему значению показателя соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней $3\sqrt{3}$ и $5$: * $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$; * $5 = \sqrt{25}$. Так как $27 > 25$, то $\sqrt{27} > \sqrt{25}$, следовательно, $3\sqrt{3} > 5$. Так как основание степени $\frac{4}{3} > 1$ и $3\sqrt{3} > 5$, то: $$ \left(\frac{4}{3}\right)^{3\sqrt{3}} > \left(\frac{4}{3}\right)^5 $$ Ответ: $\left(\frac{4}{3}\right)^{3\sqrt{3}} > \left(\frac{4}{3}\right)^5$. --- 3. Область определения функции $y = -4\pi^x$: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Так как основание $\pi \approx 3,14 > 1$, показательная функция $u(x) = \pi^x$ является строго возрастающей на всей области определения: для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $\pi^{x_1} < \pi^{x_2}$. Умножим обе части этого неравенства на отрицательное число $-4$, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $$ -4\pi^{x_1} > -4\pi^{x_2} $$ Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ справедливо $y(x_1) > y(x_2)$, что означает, что функция является убывающей. Ответ: функция $y = -4\pi^x$ убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.