ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-12. вариант - 3

**1.** По условию значение функции равно $\frac{1}{5\sqrt{5}}$, следовательно, получаем уравнение: $$ 5^x = \frac{1}{5\sqrt{5}} $$ Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $5$: $$ \frac{1}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{5^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{5^{\frac{3}{2}}} = 5^{-\frac{3}{2}} $$ Уравнение принимает вид: $$ 5^x = 5^{-\frac{3}{2}} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ x = -\frac{3}{2} = -1,5 $$ Ответ: $x = -1,5$. --- **2.** Представим число $1$ как степень числа $0,23$: $$ 1 = 0,23^0 $$ Рассмотрим показательную функцию $y = 0,23^x$. Так как основание степени $0 < 0,23 < 1$, функция $y = 0,23^x$ является убывающей на всей числовой прямой. Сравним показатели степеней: $$ 0 > -0,5 $$ Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно: $$ 0,23^0 < 0,23^{-0,5} $$ То есть $1 < 0,23^{-0,5}$. Ответ: $1 < 0,23^{-0,5}$. --- **3.** Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$, где основание $a = \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}$. Характер монотонности показательной функции зависит от величины основания $a$: - при $a > 1$ функция возрастает; - при $0 < a < 1$ функция убывает. Оценим значение основания $a$: Аргумент $\frac{3\pi}{8}$ принадлежит первой четверти, причём: $$ \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2} $$ Функция $y = \operatorname{tg} t$ возрастает на интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Так как $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{4}$, то: $$ \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8} > \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} $$ Поскольку $\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1$, получаем: $$ \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8} > 1 $$ Так как основание показательной функции больше единицы ($a > 1$), функция $y = \left(\operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}\right)^x$ является возрастающей на всей области определения ($x \in \mathbb{R}$). Ответ: функция возрастает на $\mathbb{R}$.