ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-13. вариант - 3

1. Функция $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$ является показательной с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $f(x)$ строго убывает на всей числовой прямой. Следовательно, на отрезке $[0; 2]$ своё наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка (при $x = 0$), а наименьшее — на правом конце (при $x = 2$): $$ y_{\text{наиб}} = f(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^{0-2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 $$ $$ y_{\text{наим}} = f(2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{2-2} = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 $$ **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 9$, $y_{\text{наим}} = 1$. --- 2. Так как функция $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$ строго убывает, на любом отрезке $[a; b]$ (где $a < b$) наибольшее значение достигается в его левом конце, то есть при $x = a$. По условию наибольшее значение равно $\frac{1}{3}$: $$ f(a) = \frac{1}{3} \implies \left(\frac{1}{3}\right)^{a-2} = \left(\frac{1}{3}\right)^1 $$ $$ a - 2 = 1 \implies a = 3 $$ Таким образом, левый конец отрезка равен $3$, а правый конец $b$ может быть любым числом, большим $3$. Функция принимает наибольшее значение, равное $\frac{1}{3}$, на любом отрезке вида $[3; b]$, где $b > 3$ (если в формулировке предполагался числовой луч, то это луч $[3; +\infty)$). **Ответ:** на любом отрезке вида $[3; b]$, где $b > 3$ (или на луче $[3; +\infty)$). --- 3. Решим уравнение: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2} = 2x + 1 $$ Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: * Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}$ — показательная с основанием $0 < \frac{1}{3} < 1$, поэтому она строго убывает на $\mathbb{R}$. * Функция $y = 2x + 1$ — линейная с угловым коэффициентом $k = 2 > 0$, поэтому она строго возрастает на $\mathbb{R}$. Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, то графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения, а уравнение — не более одного корня. Подбором находим: при $x = 1$: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{1-2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 $$ $$ 2 \cdot 1 + 1 = 3 $$ Равенство $3 = 3$ верно, следовательно, $x = 1$ — единственный корень уравнения. **Ответ:** $x = 1$.