ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-12. вариант - 1

**1.** По условию значение функции $y = 7\sqrt{7}$. Подставим это значение в формулу функции: $$ 7^x = 7\sqrt{7} $$ Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием $7$: $$ 7\sqrt{7} = 7^1 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 7^{1 + \frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}} $$ Получаем простейшее показательное уравнение: $$ 7^x = 7^{\frac{3}{2}} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ x = \frac{3}{2} = 1,5 $$ **Ответ:** $x = 1,5$ (или $\frac{3}{2}$). --- **2.** Рассмотрим показательную функцию $y = \left(\frac{3}{4}\right)^t$. Так как основание $0 < \frac{3}{4} < 1$, функция $y = \left(\frac{3}{4}\right)^t$ является убывающей на всей числовой прямой. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели степеней $3$ и $2\sqrt{2}$: - представим число $3$ в виде корня: $3 = \sqrt{9}$; - внесём множитель под знак корня: $2\sqrt{2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$. Так как $9 > 8$, то $\sqrt{9} > \sqrt{8}$, следовательно: $$ 3 > 2\sqrt{2} $$ Поскольку функция убывает, знак неравенства между значениями степеней меняется на противоположный: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^3 < \left(\frac{3}{4}\right)^{2\sqrt{2}} $$ **Ответ:** $\left(\frac{3}{4}\right)^3 < \left(\frac{3}{4}\right)^{2\sqrt{2}}$. --- **3.** Областью определения функции $y = (\sqrt{2})^x - 3$ является множество всех действительных чисел: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Рассмотрим показательную функцию $f(x) = (\sqrt{2})^x$. Так как её основание $\sqrt{2} > 1$ (поскольку $\sqrt{2} \approx 1,41$), функция $f(x) = (\sqrt{2})^x$ возрастает на всей области определения. Вычитание постоянного числа $3$ смещает график функции вдоль оси ординат вниз на $3$ единицы и не влияет на характер монотонности: если $x_1 < x_2$, то $(\sqrt{2})^{x_1} < (\sqrt{2})^{x_2}$, а значит, $(\sqrt{2})^{x_1} - 3 < (\sqrt{2})^{x_2} - 3$. Таким образом, функция $y = (\sqrt{2})^x - 3$ возрастает на всей области определения $x \in (-\infty; +\infty)$. **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; +\infty)$.