ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-13. вариант - 2

**1.** Функция $f(x) = 2^{x+1}$ является показательной с основанием $2 > 1$, следовательно, она монотонно возрастает на всей числовой прямой. Так как функция возрастает, на отрезке $[-1; 2]$ своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом конце: $$ y_{\text{наим}} = f(-1) = 2^{-1+1} = 2^0 = 1 $$ $$ y_{\text{наиб}} = f(2) = 2^{2+1} = 2^3 = 8 $$ **Ответ:** $y_{\text{наим}} = 1$, $y_{\text{наиб}} = 8$. --- **2.** Пусть искомый отрезок равен $[a; b]$. Так как функция $f(x) = 2^{x+1}$ монотонно возрастает на всей области определения, наименьшее значение на отрезке достигается в точке $x = a$, а наибольшее — в точке $x = b$. Составим и решим уравнения: 1) Для наименьшего значения: $$ f(a) = 0,5 $$ $$ 2^{a+1} = 2^{-1} $$ $$ a + 1 = -1 $$ $$ a = -2 $$ 2) Для наибольшего значения: $$ f(b) = 16 $$ $$ 2^{b+1} = 2^4 $$ $$ b + 1 = 4 $$ $$ b = 3 $$ Таким образом, искомый отрезок — $[-2; 3]$. **Ответ:** $[-2; 3]$. --- **3.** Дано уравнение: $$ 2^{x+1} = -3x + 7 $$ Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: * Функция $y = 2^{x+1}$ — показательная с основанием $2 > 1$, монотонно возрастает на $\mathbb{R}$. * Функция $y = -3x + 7$ — линейная с угловым коэффициентом $k = -3 < 0$, монотонно убывает на $\mathbb{R}$. Поскольку возрастающая функция и убывающая функция могут пересекаться не более чем в одной точке, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим: при $x = 1$: $$ 2^{1+1} = -3 \cdot 1 + 7 $$ $$ 2^2 = 4 $$ $$ 4 = 4 \quad \text{— верное числовое равенство.} $$ Значит, $x = 1$ — единственный корень уравнения. **Ответ:** $x = 1$.