ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-11. вариант - 2

### Задание 1 Дана функция: $$y = -(3x - 1)^{\frac{5}{3}} + 20x$$ По определению степени с дробным показателем выражение под знаком степени должно быть неотрицательным: $3x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{3}$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = \left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$. #### а) Исследование функции на монотонность и экстремумы 1. Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $$y' = \left(-(3x - 1)^{\frac{5}{3}} + 20x\right)' = -\frac{5}{3}(3x - 1)^{\frac{5}{3} - 1} \cdot (3x - 1)' + 20$$ $$y' = -\frac{5}{3}(3x - 1)^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 20 = -5(3x - 1)^{\frac{2}{3}} + 20$$ 2. Найдем стационарные точки, решив уравнение $y' = 0$: $$-5(3x - 1)^{\frac{2}{3}} + 20 = 0$$ $$5(3x - 1)^{\frac{2}{3}} = 20$$ $$(3x - 1)^{\frac{2}{3}} = 4$$ Возведем обе части уравнения в степень $\frac{3}{2}$: $$3x - 1 = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 8$$ $$3x = 9$$ $$x = 3$$ Точка $x = 3$ принадлежит области определения функции. 3. Определим знаки производной на полученных промежутках: - При $x \in \left(\frac{1}{3}; 3\right)$: возьмем, например, $x = 1$: $y'(1) = -5(3 \cdot 1 - 1)^{\frac{2}{3}} + 20 = -5 \cdot \sqrt[3]{4} + 20 > 0$. Производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает. - При $x \in (3; +\infty)$: возьмем, например, $x = 9$: $y'(9) = -5(27 - 1)^{\frac{2}{3}} + 20 = -5 \cdot 26^{\frac{2}{3}} + 20 < 0$ (так как $26^{\frac{2}{3}} > 8^{\frac{2}{3}} = 4$). Производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает. 4. При переходе через точку $x = 3$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = 3$ — точка максимума ($x_{max} = 3$). Найдем значение функции в точке максимума: $$y_{max} = y(3) = -(3 \cdot 3 - 1)^{\frac{5}{3}} + 20 \cdot 3 = -8^{\frac{5}{3}} + 60 = -(\sqrt[3]{8})^5 + 60 = -2^5 + 60 = -32 + 60 = 28$$ **Ответ к пункту а:** Функция возрастает на промежутке $\left[\frac{1}{3}; 3\right]$, убывает на промежутке $[3; +\infty)$. Точка максимума: $x_{max} = 3$, максимум функции: $y_{max} = 28$. --- #### б) Наибольшее и наименьшее значения на полуинтервале $(1; 3]$ На полуинтервале $(1; 3]$ производная функции положительна при $x \in (1; 3)$ и равна нулю при $x = 3$, следовательно, функция $y(x)$ непрерывна и строго возрастает на этом промежутке. 1. Так как функция возрастает на $(1; 3]$, наибольшее значение она принимает в правом конце полуинтервала при $x = 3$: $$y_{наиб} = y(3) = 28$$ 2. Левая граница $x = 1$ не принадлежит полуинтервалу $(1; 3]$. Значения функции строго больше $y(1)$, однако само значение $y(1)$ в точках полуинтервала не достигается. Следовательно, наименьшего значения на полуинтервале $(1; 3]$ не существует. **Ответ к пункту б:** $y_{наиб} = 28$; наименьшего значения не существует. --- ### Задание 2 Дана функция: $$y = -5x^{\frac{1}{5}} + 3x$$ По геометрическому смыслу производной, тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс равен значению производной функции в точке касания $x_0$: $$k = \text{tg}\,\alpha = y'(x_0) = 2$$ 1. Найдем производную функции: $$y' = \left(-5x^{\frac{1}{5}} + 3x\right)' = -5 \cdot \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5} - 1} + 3 = -x^{-\frac{4}{5}} + 3 = 3 - \frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$$ 2. Приравняем производную к данному значению углового коэффициента: $$3 - \frac{1}{x_0^{\frac{4}{5}}} = 2$$ $$\frac{1}{x_0^{\frac{4}{5}}} = 1$$ $$x_0^{\frac{4}{5}} = 1$$ Так как для степенной функции с дробным показателем основание $x_0 > 0$, получаем: $$x_0 = 1$$ 3. Найдем ординату точки касания $y_0 = y(x_0)$: $$y_0 = y(1) = -5 \cdot 1^{\frac{1}{5}} + 3 \cdot 1 = -5 + 3 = -2$$ 4. Запишем общее уравнение касательной $y = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)$ и подставим найденные значения $x_0 = 1$, $y_0 = -2$, $y'(x_0) = 2$: $$y = -2 + 2(x - 1)$$ $$y = -2 + 2x - 2$$ $$y = 2x - 4$$ **Ответ:** $y = 2x - 4$.