ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-11. вариант - 3

**1. Дана функция $y = 4(3x + 1)^{\frac{3}{4}} - 4,5x$.** **а) Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы.** 1. Область определения функции: Выражение под знаком степени с рациональным показателем $\frac{3}{4}$ должно быть неотрицательным: $$ 3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3} $$ Таким образом, $D(y) = \left[-\frac{1}{3}; +\infty\right)$. 2. Найдем производную функции: $$ y' = \left(4(3x + 1)^{\frac{3}{4}} - 4,5x\right)' = 4 \cdot \frac{3}{4}(3x + 1)^{\frac{3}{4} - 1} \cdot (3x + 1)' - 4,5 $$ $$ y' = 3(3x + 1)^{-\frac{1}{4}} \cdot 3 - 4,5 = \frac{9}{(3x + 1)^{\frac{1}{4}}} - 4,5 $$ Производная определена при $x > -\frac{1}{3}$. 3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $$ \frac{9}{(3x + 1)^{\frac{1}{4}}} - 4,5 = 0 $$ $$ \frac{9}{(3x + 1)^{\frac{1}{4}}} = 4,5 $$ $$ (3x + 1)^{\frac{1}{4}} = \frac{9}{4,5} $$ $$ (3x + 1)^{\frac{1}{4}} = 2 $$ Возведем обе части уравнения в четвертую степень: $$ 3x + 1 = 2^4 $$ $$ 3x + 1 = 16 $$ $$ 3x = 15 \implies x = 5 $$ 4. Определим знаки производной на промежутках: - При $x \in \left(-\frac{1}{3}; 5\right)$: возьмем, например, точку $x = 0$: $y'(0) = \frac{9}{(3 \cdot 0 + 1)^{\frac{1}{4}}} - 4,5 = 9 - 4,5 = 4,5 > 0$. Производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на отрезке $\left[-\frac{1}{3}; 5\right]$. - При $x \in (5; +\infty)$: возьмем, например, точку $x = 27$: $3 \cdot 27 + 1 = 82$, $82^{\frac{1}{4}} > 2 \implies \frac{9}{82^{\frac{1}{4}}} < 4,5 \implies y' < 0$. Производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[5; +\infty)$. 5. Так как в точке $x = 5$ производная меняет знак с плюса на минус, то $x = 5$ — точка максимума ($x_{\text{max}} = 5$). Вычислим значение функции в точке максимума: $$ y_{\text{max}} = y(5) = 4(3 \cdot 5 + 1)^{\frac{3}{4}} - 4,5 \cdot 5 = 4 \cdot 16^{\frac{3}{4}} - 22,5 $$ Так как $16^{\frac{3}{4}} = \left(2^4\right)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$: $$ y(5) = 4 \cdot 8 - 22,5 = 32 - 22,5 = 9,5 $$ **Ответ к пункту а:** функция возрастает на $\left[-\frac{1}{3}; 5\right]$, убывает на $[5; +\infty)$; точка максимума $x_{\text{max}} = 5$, $y_{\text{max}} = 9,5$. --- **б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[0; 5]$.** На отрезке $[0; 5]$ функция непрерывна и, согласно исследованию в пункте а, строго возрастает (так как $[0; 5] \subset \left[-\frac{1}{3}; 5\right]$). Следовательно, своего наименьшего значения функция достигает на левом конце отрезка, а наибольшего — на правом: $$ y_{\text{наим}} = y(0) = 4(3 \cdot 0 + 1)^{\frac{3}{4}} - 4,5 \cdot 0 = 4 \cdot 1^{\frac{3}{4}} - 0 = 4 $$ $$ y_{\text{наиб}} = y(5) = 9,5 $$ **Ответ к пункту б:** $y_{\text{наим}} = 4$, $y_{\text{наиб}} = 9,5$. --- **2. Составьте уравнение той касательной к графику функции $y = 2,5x^{\frac{6}{5}} - 2x$, которая параллельна прямой $y = 4x + 1$.** 1. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$. 2. Прямая $y = 4x + 1$ имеет угловой коэффициент $k = 4$. Так как искомая касательная параллельна этой прямой, их угловые коэффициенты равны, то есть: $$ k = y'(x_0) = 4 $$ где $x_0$ — абсцисса точки касания. 3. Найдем производную функции: $$ y' = \left(2,5x^{\frac{6}{5}} - 2x\right)' = 2,5 \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{6}{5} - 1} - 2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{1}{5}} - 2 = 3x^{\frac{1}{5}} - 2 $$ 4. Найдем точку касания $x_0$, решив уравнение $y'(x_0) = 4$: $$ 3x_0^{\frac{1}{5}} - 2 = 4 $$ $$ 3x_0^{\frac{1}{5}} = 6 $$ $$ x_0^{\frac{1}{5}} = 2 $$ $$ x_0 = 2^5 = 32 $$ 5. Найдем ординату точки касания $y_0 = y(x_0)$: $$ y(32) = 2,5 \cdot 32^{\frac{6}{5}} - 2 \cdot 32 $$ Так как $32^{\frac{6}{5}} = \left(2^5\right)^{\frac{6}{5}} = 2^6 = 64$: $$ y(32) = 2,5 \cdot 64 - 64 = 160 - 64 = 96 $$ 6. Составим уравнение касательной по формуле $y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$: $$ y = 96 + 4(x - 32) $$ $$ y = 96 + 4x - 128 $$ $$ y = 4x - 32 $$ **Ответ:** $y = 4x - 32$.