ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-1. вариант - 4

1. Вычислим значение выражения: $$ \sqrt[7]{-128} - \frac{4}{7}\sqrt[3]{5\frac{23}{64}} $$ 1) Вычислим значение первого корня нечётной степени: $\sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2$. 2) Преобразуем подкоренное выражение второго слагаемого из смешанного числа в неправильную дробь: $5\frac{23}{64} = \frac{5 \cdot 64 + 23}{64} = \frac{320 + 23}{64} = \frac{343}{64}$. 3) Извлечём кубический корень из дроби: $$ \sqrt[3]{\frac{343}{64}} = \frac{\sqrt[3]{343}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{\sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{4^3}} = \frac{7}{4} $$ 4) Найдём значение второго слагаемого: $$ \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{4} = 1 $$ 5) Выполним вычитание: $-2 - 1 = -3$. Ответ: $-3$. --- 2. Решите уравнение: a) $x^6 = 729$ Так как показатель степени чётный, уравнение имеет два противоположных действительных корня: $$ x = \pm \sqrt[6]{729} $$ Так как $729 = 3^6$, получаем: $$ x = \pm 3 $$ Ответ: $x = \pm 3$. b) $\sqrt[3]{x^2 - 22x + 8} = -4$ Возведём обе части уравнения в куб (при возведении в нечётную степень область допустимых значений не сужается и посторонние корни не появляются): $$ (\sqrt[3]{x^2 - 22x + 8})^3 = (-4)^3 $$ $$ x^2 - 22x + 8 = -64 $$ Перенесём слагаемое $-64$ в левую часть уравнения: $$ x^2 - 22x + 8 + 64 = 0 $$ $$ x^2 - 22x + 72 = 0 $$ Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта (или теоремы Виета): $$ D_1 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot 72 = 121 - 72 = 49 = 7^2 $$ $$ x_1 = 11 - 7 = 4 $$ $$ x_2 = 11 + 7 = 18 $$ Ответ: $x_1 = 4$; $x_2 = 18$. --- 3. Сравните числа $\frac{2\pi}{3}$ и $\sqrt[4]{15}$. Сравним каждое из заданных чисел с числом $2$: 1) Известно, что $\pi > 3$. Умножим обе части неравенства на положительное число $\frac{2}{3}$: $$ \frac{2\pi}{3} > \frac{2 \cdot 3}{3} $$ $$ \frac{2\pi}{3} > 2 $$ 2) Сравним $\sqrt[4]{15}$ и $2$. Так как $2 = \sqrt[4]{16}$ и $15 < 16$, то в силу возрастания функции $y = \sqrt[4]{x}$ получаем: $$ \sqrt[4]{15} < \sqrt[4]{16} = 2 $$ 3) Объединяя полученные неравенства, имеем: $$ \frac{2\pi}{3} > 2 > \sqrt[4]{15} $$ Следовательно: $$ \frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15} $$ Ответ: $\frac{2\pi}{3} > \sqrt[4]{15}$.