ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-2. вариант - 2

1. Построим график функции $y = \sqrt[4]{x} - 1$. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$. График функции $y = \sqrt[4]{x} - 1$ получается сдвигом базового графика $y = \sqrt[4]{x}$ вдоль оси $Oy$ на $1$ единицу вниз. Составим таблицу контрольных точек для построения: | $x$ | $0$ | $1$ | $16$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $-1$ | $0$ | $1$ | График представляет собой плавную ветвь, выходящую из точки $(0; -1)$, проходящую через точку $(1; 0)$ и уходящую вправо вверх в первую четверть через точку $(16; 1)$. а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1; 16]$. Функция $y = \sqrt[4]{x} - 1$ непрерывна и строго возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$, так как функция $y = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей. Следовательно, на отрезке $[1; 16]$ наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом конце: $$y_{\text{наим}} = y(1) = \sqrt[4]{1} - 1 = 1 - 1 = 0$$ $$y_{\text{наиб}} = y(16) = \sqrt[4]{16} - 1 = 2 - 1 = 1$$ **Ответ:** $y_{\text{наим}} = 0$, $y_{\text{наиб}} = 1$. б) Найдем точки пересечения графика функции $y = \sqrt[4]{x} - 1$ с графиком функции $y = -2x^2 + 2$. Для этого приравняем выражения для функций: $$\sqrt[4]{x} - 1 = -2x^2 + 2$$ Уравнение определено при $x \ge 0$. Рассмотрим поведение функций на промежутке $[0; +\infty)$: * Функция $f(x) = \sqrt[4]{x} - 1$ является строго возрастающей. * Функция $g(x) = -2x^2 + 2$ является квадратичной с вершиной в точке $(0; 2)$ и ветвями, направленными вниз, то есть на промежутке $[0; +\infty)$ она строго убывает. Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь не более одного корня. Подбором находим корень $x = 1$: $$f(1) = \sqrt[4]{1} - 1 = 0$$ $$g(1) = -2 \cdot 1^2 + 2 = 0$$ Равенство верно, следовательно, $x = 1$ — единственный корень уравнения. Найдем ординату точки пересечения: $$y = 0$$ **Ответ:** $(1; 0)$. --- 2. Найдем область определения функции: $$y = \sqrt[4]{(2 - x)(x^2 - 9)}$$ Корень четной степени (четвертой) определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения: $$(2 - x)(x^2 - 9) \ge 0$$ Разложим разность квадратов на множители: $$(2 - x)(x - 3)(x + 3) \ge 0$$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства: $$(x - 2)(x - 3)(x + 3) \le 0$$ Решим полученное неравенство методом интервалов: 1. Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$. 2. Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки произведения $(x - 2)(x - 3)(x + 3)$ на получившихся интервалах: * при $x \in (3; +\infty)$: например, при $x = 4$ получаем $(+)(+)(+) > 0$; * при $x \in [2; 3]$: например, при $x = 2{,}5$ получаем $(+)(-)(+) \le 0$; * при $x \in [-3; 2]$: например, при $x = 0$ получаем $(-)(-)(+) \ge 0$; * при $x \in (-\infty; -3]$: например, при $x = -4$ получаем $(-)(-)(-) \le 0$. Так как знак неравенства $\le 0$, решением являются промежутки, где выражение неположительно, включая граничные точки: $$x \in (-\infty; -3] \cup [2; 3]$$ **Ответ:** $D(y) = (-\infty; -3] \cup [2; 3]$.