ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-2. вариант - 1

**1.** Построение графика функции $y = -\sqrt[3]{x} + 1$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. График функции $y = -\sqrt[3]{x} + 1$ получается из графика функции $y = \sqrt[3]{x}$ симметричным отражением относительно оси абсцисс (получаем график $y = -\sqrt[3]{x}$) и последующим параллельным переносом вдоль оси ординат на $1$ единицу вверх. Составим таблицу значений: | $x$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | По полученным точкам $(-8; 3)$, $(-1; 2)$, $(0; 1)$, $(1; 0)$, $(8; -1)$ строим плавную кубическую параболу, проходящую через эти точки и убывающую на всей числовой прямой. а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-8; 0]$. Функция $y = -\sqrt[3]{x} + 1$ непрерывна и строго убывает на всей области определения. Следовательно, на отрезке $[-8; 0]$ наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом: $$ y_{\text{наиб}} = y(-8) = -\sqrt[3]{-8} + 1 = -(-2) + 1 = 3 $$ $$ y_{\text{наим}} = y(0) = -\sqrt[3]{0} + 1 = 0 + 1 = 1 $$ **Ответ:** $y_{\text{наиб}} = 3$, $y_{\text{наим}} = 1$. б) Найдем точки пересечения графика данной функции с графиком функции $y = x^2 + 1$. Для нахождения абсцисс точек пересечения приравняем правые части уравнений функций: $$ -\sqrt[3]{x} + 1 = x^2 + 1 $$ $$ -\sqrt[3]{x} = x^2 $$ $$ x^2 + \sqrt[3]{x} = 0 $$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = t^3$, а $x^2 = t^6$: $$ t^6 + t = 0 $$ $$ t(t^5 + 1) = 0 $$ Отсюда: 1) $t = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $t^5 + 1 = 0 \implies t^5 = -1 \implies t = -1 \implies \sqrt[3]{x} = -1 \implies x_2 = -1$ Найдем соответствующие значения ординат $y$: - при $x_1 = 0$: $y_1 = 0^2 + 1 = 1$ - при $x_2 = -1$: $y_2 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$ Таким образом, графики пересекаются в двух точках: $(0; 1)$ и $(-1; 2)$. **Ответ:** $(0; 1)$, $(-1; 2)$. --- **2.** Найдем область определения функции: $$ y = \sqrt{2 - x} \cdot \sqrt[4]{x^2 - 9} $$ Функция содержит корни четных степеней ($2$ и $4$), следовательно, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2 - x \ge 0, \\ x^2 - 9 \ge 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство системы: 1) $2 - x \ge 0 \iff -x \ge -2 \iff x \le 2$, то есть $x \in (-\infty; 2]$. 2) $x^2 - 9 \ge 0 \iff (x - 3)(x + 3) \ge 0$. Применяя метод интервалов, получаем: $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. Найдем пересечение решений: $$ \begin{cases} x \le 2 \\ x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty) \end{cases} \implies x \in (-\infty; -3] $$ **Ответ:** $D(y) = (-\infty; -3]$.