ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-1. вариант - 3

**1.** Вычислим значение выражения: $$\sqrt[5]{243} + 3\sqrt[3]{4\frac{17}{27}}$$ 1) Представим подкоренное число первого слагаемого в виде степени: $243 = 3^5$. Тогда: $$\sqrt[5]{243} = \sqrt[5]{3^5} = 3$$ 2) Переведем смешанную дробь в неправильную: $$4\frac{17}{27} = \frac{4 \cdot 27 + 17}{27} = \frac{108 + 17}{27} = \frac{125}{27}$$ 3) Извлечем корень третьей степени: $$\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \sqrt[3]{\left(\frac{5}{3}\right)^3} = \frac{5}{3}$$ 4) Найдем значение всего выражения: $$3 + 3 \cdot \frac{5}{3} = 3 + 5 = 8$$ Ответ: $8$. --- **2.** Решите уравнение: **а)** $x^8 = 256$ Так как показатель степени $n = 8$ является чётным числом, а $256 > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$x = \pm\sqrt[8]{256}$$ Поскольку $256 = 2^8$, получаем: $$x = \pm 2$$ Ответ: $x = \pm 2$. **б)** $\sqrt[4]{x^2} - x - 40 = 2$ Перенесем числовые слагаемые в правую часть уравнения и упростим корень: $$\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{|x|}$$ Получаем уравнение: $$\sqrt{|x|} - x = 42$$ $$\sqrt{|x|} = x + 42$$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля: 1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид: $$\sqrt{x} = x + 42$$ Пусть $\sqrt{x} = t$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$: $$t = t^2 + 42$$ $$t^2 - t + 42 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 1 - 168 = -167 < 0$$ Дискриминант меньше нуля, действительных корней в этом случае нет. 2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид: $$\sqrt{-x} = x + 42$$ Пусть $\sqrt{-x} = t$, где $t > 0$. Тогда $-x = t^2$, то есть $x = -t^2$: $$t = -t^2 + 42$$ $$t^2 + t - 42 = 0$$ По теореме Виета: $t_1 = 6$, $t_2 = -7$. Так как $t > 0$, значение $t_2 = -7$ не подходит. Возвращаемся к замене при $t = 6$: $$\sqrt{-x} = 6$$ $$-x = 36$$ $$x = -36$$ Проверим найденный корень: $\sqrt[4]{(-36)^2} - (-36) - 40 = \sqrt[4]{1296} + 36 - 40 = 6 + 36 - 40 = 2$ — равенство верно. Ответ: $x = -36$. --- **3.** Сравним числа $\frac{\pi}{2}$ и $\sqrt[3]{9}$. Сравним каждое из чисел с числом $2$: 1) Так как $\pi < 3{,}15 < 4$, то: $$\frac{\pi}{2} < \frac{4}{2} = 2$$ 2) Так как $9 > 8$, а функция $y = \sqrt[3]{x}$ монотонно возрастает на всей числовой прямой, то: $$\sqrt[3]{9} > \sqrt[3]{8} = 2$$ Таким образом: $$\frac{\pi}{2} < 2 < \sqrt[3]{9}$$ Следовательно, $\frac{\pi}{2} < \sqrt[3]{9}$. Ответ: $\frac{\pi}{2} < \sqrt[3]{9}$.