ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 7

Предположим противное: пусть число $\sin 10^\circ$ является рациональным. Обозначим $x = \sin 10^\circ$. Используем формулу синуса тройного угла: $$ \sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha $$ Положим $\alpha = 10^\circ$: $$ \sin 30^\circ = 3\sin 10^\circ - 4\sin^3 10^\circ $$ Так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем уравнение: $$ 3x - 4x^3 = \frac{1}{2} $$ Умножим обе части уравнения на $2$ и перенесём все члены в одну сторону: $$ 8x^3 - 6x + 1 = 0 $$ По нашему предположению, $x$ — рациональное число. Запишем его в виде несократимой дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ и $\gcd(p, q) = 1$. По теореме о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами: - числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0 = 1$, то есть $p \in \{\pm 1\}$; - знаменатель $q$ должен быть положительным делителем старшего коэффициента $a_3 = 8$, то есть $q \in \{1, 2, 4, 8\}$. Следовательно, рациональными корнями данного уравнения могут быть только числа: $$ x \in \left\{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8} \right\} $$ Проверим каждое из возможных значений, подставляя их в многочлен $P(x) = 8x^3 - 6x + 1$: 1. $P(1) = 8 \cdot 1^3 - 6 \cdot 1 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \neq 0$; 2. $P(-1) = 8 \cdot (-1)^3 - 6 \cdot (-1) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \neq 0$; 3. $P\left(\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 8 \cdot \frac{1}{8} - 3 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \neq 0$; 4. $P\left(-\frac{1}{2}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 8 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) + 3 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \neq 0$; 5. $P\left(\frac{1}{4}\right) = 8 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 - 6 \cdot \frac{1}{4} + 1 = 8 \cdot \frac{1}{64} - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{3}{8} \neq 0$; 6. $P\left(-\frac{1}{4}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = -8 \cdot \frac{1}{64} + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = \frac{19}{8} \neq 0$; 7. $P\left(\frac{1}{8}\right) = 8 \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^3 - 6 \cdot \frac{1}{8} + 1 = 8 \cdot \frac{1}{512} - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{64} - \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{17}{64} \neq 0$; 8. $P\left(-\frac{1}{8}\right) = 8 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)^3 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right) + 1 = -8 \cdot \frac{1}{512} + \frac{3}{4} + 1 = -\frac{1}{64} + \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{111}{64} \neq 0$. Ни одно из возможных рациональных чисел не обращает уравнение в верное равенство, следовательно, уравнение $8x^3 - 6x + 1 = 0$ не имеет рациональных корней. Полученное противоречие означает, что исходное предположение неверно. Таким образом, $\sin 10^\circ$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.