ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 4

а) Выясним, делится ли число $679^{679}$ на $2001$. Число $2001$ делится на $3$, так как сумма его цифр равна $2 + 0 + 0 + 1 = 3$, что кратно $3$. Следовательно, число $3$ является простым делителем числа $2001$. Сумма цифр числа $679$ равна: $$ 6 + 7 + 9 = 22 $$ Так как $22$ не делится на $3$, то и само число $679$ не делится на $3$. Поскольку число $3$ — простое, и основание степени $679$ не делится на $3$, то и любая его натуральная степень $679^{679}$ также не делится на $3$. Так как число $679^{679}$ не делится на $3$, оно не может делиться и на число $2001$, кратное $3$. Ответ: нет, не делится. б) Выясним, делится ли число $2001^4 - 1322^4$ на $679$. Применим формулу разности квадратов: $$ 2001^4 - 1322^4 = (2001^2 - 1322^2)(2001^2 + 1322^2) = (2001 - 1322)(2001 + 1322)(2001^2 + 1322^2) $$ Вычислим первую разность: $$ 2001 - 1322 = 679 $$ Подставим полученное значение в произведение: $$ 2001^4 - 1322^4 = 679 \cdot (2001 + 1322)(2001^2 + 1322^2) $$ Так как один из множителей равен $679$, а второй множитель $(2001 + 1322)(2001^2 + 1322^2)$ является целым числом, то данное число делится на $679$. Ответ: да, делится.