ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 10

а) Вычислим значение выражения $\arccos(\sin 5) + \arcsin(\cos 5)$. Число $5$ выражено в радианах. Так как $\pi \approx 3{,}14$, то: $$ \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 < 5 < 6{,}28 \approx 2\pi $$ Значит, угол $5$ радиан лежит в IV координатной четверти. 1. Найдем $\arccos(\sin 5)$. По определению арккосинуса, его значение должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$. Используем формулы приведения и периодичность косинуса: $$ \sin 5 = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 5\right) = \cos\left(2\pi - \left(5 - \frac{\pi}{2}\right)\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{2} - 5\right) $$ Проверим, попадает ли полученный угол в отрезок $[0; \pi]$: $$ \frac{5\pi}{2} - 5 \approx 2{,}5 \cdot 3{,}14 - 5 = 7{,}85 - 5 = 2{,}85 \in [0; \pi] $$ Так как $\frac{3\pi}{2} < 5 < \frac{5\pi}{2}$, то $0 < \frac{5\pi}{2} - 5 < \pi$. Следовательно: $$ \arccos(\sin 5) = \frac{5\pi}{2} - 5 $$ 2. Найдем $\arcsin(\cos 5)$. По определению арксинуса, его значение должно принадлежать отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Используем формулы приведения: $$ \cos 5 = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 5\right) = -\sin\left(5 - \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\left(5 - \frac{\pi}{2}\right) - \pi\right) = \sin\left(5 - \frac{3\pi}{2}\right) $$ Проверим принадлежность промежутку: $$ 5 - \frac{3\pi}{2} \approx 5 - 4{,}71 = 0{,}29 \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $$ Так как $\frac{3\pi}{2} < 5 < 2\pi$, то $0 < 5 - \frac{3\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно: $$ \arcsin(\cos 5) = 5 - \frac{3\pi}{2} $$ 3. Сложим полученные результаты: $$ \arccos(\sin 5) + \arcsin(\cos 5) = \left(\frac{5\pi}{2} - 5\right) + \left(5 - \frac{3\pi}{2}\right) = \frac{5\pi - 3\pi}{2} = \pi $$ Ответ к пункту а: $\pi$. --- б) Вычислим значение выражения $\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} 4) + \operatorname{arcctg}(-\operatorname{tg} 4)$. Число $4$ находится в границах: $$ \pi \approx 3{,}14 < 4 < 4{,}71 \approx \frac{3\pi}{2} $$ Значит, угол $4$ радиана лежит в III координатной четверти. 1. Найдем $\operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} 4)$. По определению арктангенса, его значение должно лежать в интервале $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. По формулам приведения и свойству периодичности тангенса: $$ \operatorname{ctg} 4 = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - 4\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - 4 + \pi\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - 4\right) $$ Так как $\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, получаем $0 < \frac{3\pi}{2} - 4 < \frac{\pi}{2}$, то есть угол лежит в допустимом интервале: $$ \operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} 4) = \frac{3\pi}{2} - 4 $$ 2. Найдем $\operatorname{arcctg}(-\operatorname{tg} 4)$. По определению арккотангенса, его значение должно лежать в интервале $(0; \pi)$. Используем свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg} x$: $$ \operatorname{tg} 4 = \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - 4\right) = \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - 4\right) $$ Поскольку $0 < \frac{3\pi}{2} - 4 < \frac{\pi}{2} < \pi$, получаем: $$ \operatorname{arcctg}(\operatorname{tg} 4) = \frac{3\pi}{2} - 4 $$ Тогда: $$ \operatorname{arcctg}(-\operatorname{tg} 4) = \pi - \operatorname{arcctg}(\operatorname{tg} 4) = \pi - \left(\frac{3\pi}{2} - 4\right) = 4 - \frac{\pi}{2} $$ 3. Сложим полученные результаты: $$ \operatorname{arctg}(\operatorname{ctg} 4) + \operatorname{arcctg}(-\operatorname{tg} 4) = \left(\frac{3\pi}{2} - 4\right) + \left(4 - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi $$ Ответ к пункту б: $\pi$.