ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 8

Пусть $d = \text{НОД}(n; 4)$ — наибольший общий делитель натурального числа $n$ и числа $4$. По определению наибольшего общего делителя, число $d$ должно являться делителем числа $4$. Натуральными делителями числа $4$ являются числа $1$, $2$ и $4$. Следовательно, $d$ может принимать только значения из множества $\{1; 2; 4\}$. Из условия задачи имеем: $$ n = d^2 $$ Рассмотрим все возможные случаи: 1. Пусть $d = 1$. Тогда: $$ n = 1^2 = 1 $$ Проверим: $\text{НОД}(1; 4) = 1$, тогда $(\text{НОД}(1; 4))^2 = 1^2 = 1 = n$. Значение $n = 1$ удовлетворяет условию. 2. Пусть $d = 2$. Тогда: $$ n = 2^2 = 4 $$ Проверим: $\text{НОД}(4; 4) = 4 \neq 2$, а $(\text{НОД}(4; 4))^2 = 4^2 = 16 \neq 4$. Значение $n = 4$ не удовлетворяет условию. 3. Пусть $d = 4$. Тогда: $$ n = 4^2 = 16 $$ Проверим: $\text{НОД}(16; 4) = 4$, тогда $(\text{НОД}(16; 4))^2 = 4^2 = 16 = n$. Значение $n = 16$ удовлетворяет условию. Ответ: $1$; $16$.