ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 5

**а)** По признакам делимости на $3$ и на $9$ натуральное число делится на $3$ (или на $9$) тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$ (или на $9$). Более того, любое натуральное число дает при делении на $3$ и на $9$ такой же остаток, как и сумма его цифр. Пусть $N$ — число, полученное последовательной записью чисел от $1$ до $2001$, а $S(N)$ — сумма всех его цифр. Сумма цифр числа $N$ равна сумме цифр всех выписанных чисел от $1$ до $2001$. Так как для любого натурального числа $k$ сумма его цифр $s(k)$ сравнима с самим числом по модулю $9$ (и по модулю $3$), то есть $s(k) \equiv k \pmod 9$, сумма всех цифр удовлетворяет сравнению: $$ S(N) \equiv \sum_{k=1}^{2001} k \pmod 9 $$ Найдем сумму первых $2001$ натуральных чисел по формуле суммы членов арифметической прогрессии: $$ \sum_{k=1}^{2001} k = \frac{1 + 2001}{2} \cdot 2001 = 1001 \cdot 2001 $$ Определим остатки сомножителей при делении на $9$, используя сумму их цифр: - сумма цифр числа $1001$ равна $1 + 0 + 0 + 1 = 2$, значит, $1001 \equiv 2 \pmod 9$; - сумма цифр числа $2001$ равна $2 + 0 + 0 + 1 = 3$, значит, $2001 \equiv 3 \pmod 9$. Тогда: $$ S(N) \equiv 2 \cdot 3 = 6 \pmod 9 $$ Так как остаток равен $6$: 1. Число $6$ делится на $3$ без остатка, следовательно, сумма цифр $S(N)$ кратна $3$, и само число $N$ делится на $3$. 2. Число $6$ не делится нацело на $9$, следовательно, сумма цифр $S(N)$ не кратна $9$, и само число $N$ не делится на $9$. **Ответ к пункту а:** делится на $3$; не делится на $9$. --- **б)** Посчитаем количество цифр, которые потребовались для записи чисел: 1. Однозначные числа (от $1$ до $9$): всего $9$ чисел, они занимают $9 \cdot 1 = 9$ позиций (с 1-й по 9-ю). 2. Двузначные числа (от $10$ до $99$): всего $99 - 10 + 1 = 90$ чисел, они занимают $90 \cdot 2 = 180$ позиций. После записи всех однозначных и двузначных чисел записано: $$ 9 + 180 = 189\text{ цифр} $$ 3. Для достижения 2001-й позиции остается: $$ 2001 - 189 = 1812\text{ позиций} $$ Далее выписываются трехзначные числа, каждое из которых содержит по $3$ цифры. Определим, сколько трехзначных чисел будет полностью записано: $$ 1812 : 3 = 604\text{ (остаток } 0) $$ Это означает, что на 2001-м месте будет стоять последняя (третья) цифра 604-го по счету трехзначного числа. Первое трехзначное число — это $100$. Найдем 604-е трехзначное число: $$ 100 + 604 - 1 = 703 $$ Последняя цифра числа $703$ — это $3$. Значит, на 2001-м месте стоит цифра $3$. **Ответ к пункту б:** цифра $3$.