ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 20

а) Решим неравенство: $$ \cos 2x + 3 \sin^2 x + 2 \sin x < 4 $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$ 1 - 2\sin^2 x + 3\sin^2 x + 2\sin x < 4 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \sin^2 x + 2\sin x + 1 < 4 $$ Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $$ (\sin x + 1)^2 < 4 $$ Данное неравенство равносильно двойному неравенству: $$ -2 < \sin x + 1 < 2 $$ Вычтем $1$ из всех частей неравенства: $$ -3 < \sin x < 1 $$ Так как для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство $-1 \le \sin x \le 1$, условие $\sin x > -3$ выполняется всегда. Следовательно, неравенство сводится к: $$ \sin x < 1 $$ Значение $\sin x = 1$ достигается в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Во всех остальных точках $\sin x < 1$. Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В виде интервалов решение можно записать как: $$ x \in \left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$ (или $x \in \left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$). --- б) Решим неравенство: $$ \cos 2x - \cos^2 x - 2 \cos x < -2 $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$ (2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x - 2\cos x < -2 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \cos^2 x - 2\cos x - 1 < -2 $$ Перенесем $-2$ в левую часть неравенства с противоположным знаком: $$ \cos^2 x - 2\cos x + 1 < 0 $$ Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $$ (\cos x - 1)^2 < 0 $$ Квадрат любого действительного выражения неотрицателен, то есть $(\cos x - 1)^2 \ge 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, неравенство $(\cos x - 1)^2 < 0$ не имеет решений. **Ответ:** решений нет.