ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 17

По определению, два неравенства с одной переменной называют равносильными, если они имеют одно и то же множество решений (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Для доказательства равносильности неравенств $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ при $a < 0$ покажем, что каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. 1. Пусть $x_0$ — произвольное решение неравенства $f(x) > g(x)$. Это означает, что при $x = x_0$ числовое неравенство является верным: $$ f(x_0) > g(x_0) $$ По основному свойству числовых неравенств, если обе части верного числового неравенства умножить на одно и то же отрицательное число $a$ ($a < 0$), то знак неравенства меняется на противоположный: $$ af(x_0) < ag(x_0) $$ Значит, $x_0$ удовлетворяет неравенству $af(x) < ag(x)$ и является его решением. Таким образом, всякое решение первого неравенства является решением второго неравенства. 2. Пусть теперь $x_1$ — произвольное решение неравенства $af(x) < ag(x)$. Это означает, что верно числовое неравенство: $$ af(x_1) < ag(x_1) $$ Так как $a < 0$, то число $\dfrac{1}{a}$ также отрицательно: $\dfrac{1}{a} < 0$. Умножим обе части верного числового неравенства на число $\dfrac{1}{a} < 0$. При умножении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный: $$ \frac{1}{a} \cdot af(x_1) > \frac{1}{a} \cdot ag(x_1) $$ $$ f(x_1) > g(x_1) $$ Значит, $x_1$ удовлетворяет неравенству $f(x) > g(x)$ и является его решением. Таким образом, всякое решение второго неравенства является решением первого неравенства. Множества решений обоих неравенств совпадают, следовательно, при $a < 0$ неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) < ag(x)$ равносильны, что и требовалось доказать.