ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 19

### 7.19 **а)** $x^3 - 5x^2 + 4x > (x-1)^3$ Применим формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ в правой части неравенства: $$ (x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $$ Подставим полученное выражение в неравенство: $$ x^3 - 5x^2 + 4x > x^3 - 3x^2 + 3x - 1 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные: $$ x^3 - 5x^2 + 4x - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 > 0 $$ $$ -2x^2 + x + 1 > 0 $$ Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный: $$ 2x^2 - x - 1 < 0 $$ Найдём корни квадратного трёхчлена $2x^2 - x - 1 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2 $$ $$ x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1 $$ Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 1$ направлены вверх, поэтому выражение строго меньше нуля между корнями: $$ x \in \left(-\frac{1}{2}; 1\right) $$ **Ответ:** $\left(-\frac{1}{2}; 1\right)$ --- **б)** $x^3 - 6x^2 + 9x > (x-3)^3$ Раскроем куб разности в правой части: $$ (x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства: $$ x^3 - 6x^2 + 9x - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) > 0 $$ $$ x^3 - 6x^2 + 9x - x^3 + 9x^2 - 27x + 27 > 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 3x^2 - 18x + 27 > 0 $$ Разделим обе части неравенства на $3$: $$ x^2 - 6x + 9 > 0 $$ Свернём выражение по формуле квадрата разности: $$ (x - 3)^2 > 0 $$ Квадрат любого действительного числа неотрицателен, следовательно, неравенство выполняется при всех $x$, кроме тех, при которых основание квадрата обращается в ноль: $$ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 $$ **Ответ:** $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$ --- **в)** $x^3 + 5x^2 - 6x - 2 < 3x^2 - 3x + 4$ Перенесём все члены неравенства в левую часть: $$ x^3 + 5x^2 - 6x - 2 - 3x^2 + 3x - 4 < 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ x^3 + 2x^2 - 3x - 6 < 0 $$ Разложим левую часть на множители способом группировки: $$ (x^3 + 2x^2) - (3x + 6) < 0 $$ $$ x^2(x + 2) - 3(x + 2) < 0 $$ $$ (x^2 - 3)(x + 2) < 0 $$ Разложим разность квадратов $x^2 - 3$: $$ (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x + 2) < 0 $$ Найдём нули функции: $x_1 = -2$, $x_2 = -\sqrt{3}$, $x_3 = \sqrt{3}$. Так как $-\sqrt{3} \approx -1{,}73$, точки на числовой прямой располагаются в следующем порядке: $-2 < -\sqrt{3} < \sqrt{3}$. Применим метод интервалов: - при $x > \sqrt{3}$ выражение принимает знак $+$; - при $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$ знак $-$; - при $-2 < x < -\sqrt{3}$ знак $+$; - при $x < -2$ знак $-$. Неравенство строго меньше нуля, поэтому выбираем интервалы со знаком $-$: $$ x \in (-\infty; -2) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3}) $$ **Ответ:** $(-\infty; -2) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ --- **г)** $2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 > x^3 - 2x$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ 2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 - x^3 + 2x > 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ x^3 + 3x^2 - 2x - 6 > 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x^3 + 3x^2) - (2x + 6) > 0 $$ $$ x^2(x + 3) - 2(x + 3) > 0 $$ $$ (x^2 - 2)(x + 3) > 0 $$ Разложим на множители: $$ (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x + 3) > 0 $$ Найдём нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = -\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{2}$. Учитывая, что $-\sqrt{2} \approx -1{,}41$, расположим нули по возрастанию: $-3 < -\sqrt{2} < \sqrt{2}$. Решим неравенство методом интервалов: - при $x > \sqrt{2}$ выражение положительно ($+$); - при $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ выражение отрицательно ($-$); - при $-3 < x < -\sqrt{2}$ выражение положительно ($+$); - при $x < -3$ выражение отрицательно ($-$). Нам подходят промежутки, где выражение больше нуля: $$ x \in (-3; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) $$ **Ответ:** $(-3; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$