ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 21

а) $4^x + 2^x + x^2 < x^2 + 6$ Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства: $$ 4^x + 2^x < 6 $$ Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Введем замену переменной: пусть $t = 2^x$, причем $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$ t^2 + t - 6 < 0 $$ Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 + t - 6 = 0$: По теореме Виета $t_1 = -3$, $t_2 = 2$. Разложим левую часть на множители: $$ (t + 3)(t - 2) < 0 $$ Решением этого неравенства является интервал: $$ -3 < t < 2 $$ С учетом условия $t > 0$ получаем: $$ 0 < t < 2 $$ Вернемся к исходной переменной: $$ 0 < 2^x < 2^1 $$ Неравенство $2^x > 0$ верно при всех действительных значениях $x$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y = 2^x$ монотонно возрастает, следовательно: $$ x < 1 $$ Ответ: $x < 1$ (или $x \in (-\infty; 1)$). б) $27^x + 9^x > 3^x + 6 + 27^x$ Вычтем $27^x$ из обеих частей неравенства: $$ 9^x > 3^x + 6 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 9^x - 3^x - 6 > 0 $$ Так как $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, введем замену переменной: пусть $t = 3^x$, причем $t > 0$. Получаем неравенство: $$ t^2 - t - 6 > 0 $$ Найдем корни уравнения $t^2 - t - 6 = 0$: По теореме Виета $t_1 = 3$, $t_2 = -2$. Разложим на множители: $$ (t - 3)(t + 2) > 0 $$ Решение неравенства относительно $t$: $$ t < -2 \quad \text{или} \quad t > 3 $$ Так как $t = 3^x > 0$ при любых $x$, неравенство $t < -2$ не имеет решений. Остается случай: $$ t > 3 $$ Сделаем обратную замену: $$ 3^x > 3^1 $$ Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y = 3^x$ монотонно возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется: $$ x > 1 $$ Ответ: $x > 1$ (или $x \in (1; +\infty)$).