ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 18

а) Неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$ получается из неравенства $x^2 - 2x > -1$ прибавлением к обеим его частям числа $1$ (или переносом слагаемого $-1$ из правой части в левую с противоположным знаком). По теореме о равносильности, если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то получится неравенство, равносильное исходному. б) Неравенство $x > 2$ получается из неравенства $3x > 6$ делением обеих его частей на положительное число $3$. По теореме о равносильности, при делении (или умножении) обеих частей неравенства на одно и то же положительное число с сохранением знака неравенства получается неравенство, равносильное исходному. в) Неравенство $-x^2 > -2x - 1$ получается из неравенства $x^2 < 2x + 1$ умножением обеих его частей на отрицательное число $-1$ с изменением знака неравенства на противоположный (с «$<$» на «$>$»). По теореме о равносильности, при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число и смене знака неравенства получается неравенство, равносильное исходному. г) В левой части неравенства $x^2 - 4x + 4 > 0$ применили формулу квадрата разности: $$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 $$ Замена выражения в любой части неравенства тождественно равным ему выражением на всей области допустимых значений приводит к равносильному неравенству $(x - 2)^2 > 0$. д) В левой части неравенства $x^2 - 4x + 5 + 2x < 0$ привели подобные слагаемые: $$ -4x + 2x = -2x $$ Так как приведение подобных слагаемых является тождественным преобразованием на всей числовой прямой, полученное неравенство $x^2 - 2x + 5 < 0$ равносильно исходному. е) Неравенство $x > 8$ получается из неравенства $\sqrt[3]{x} > 2$ возведением обеих частей в нечётную степень $3$: $$ (\sqrt[3]{x})^3 > 2^3 \iff x > 8 $$ Функция $y = t^3$ определена и строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, поэтому возведение обеих частей неравенства в нечётную степень приводит к равносильному неравенству с сохранением знака. ж) Функция $y = \sqrt[7]{t}$ определена и строго возрастает на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Извлечение корня нечётной степени (или применение строго возрастающей функции) к обеим частям неравенства сохраняет знак и приводит к равносильному неравенству: $$ x^7 > 3 \iff \sqrt[7]{x^7} > \sqrt[7]{3} \iff x > \sqrt[7]{3} $$ з) Показательная функция $y = 0,1^t$ определена на $\mathbb{R}$ и является строго убывающей, так как основание степени удовлетворяет условию $0 < 0,1 < 1$. Поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента: $$ 0,1^{x^2 - 2x} > 0,1^x \iff x^2 - 2x < x $$ Следовательно, неравенства равносильны. и) Показательная функция $y = 5^t$ определена на $\mathbb{R}$ и является строго возрастающей, так как основание степени $5 > 1$. Поэтому меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента с сохранением знака неравенства: $$ 5^{\sin x} < 5^{\cos x} \iff \sin x < \cos x $$ Следовательно, неравенства равносильны.