ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 23

а) $x + 1 > \sqrt[3]{x^3 + 2x^2 - 3x - 4}$ Так как функция $y = t^3$ строго возрастает на всей числовой прямой, возведение обеих частей неравенства в третью степень является равносильным преобразованием при всех действительных значениях переменной: $$ (x + 1)^3 > x^3 + 2x^2 - 3x - 4 $$ Применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$ x^3 + 3x^2 + 3x + 1 > x^3 + 2x^2 - 3x - 4 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства и приведём подобные члены: $$ (x^3 - x^3) + (3x^2 - 2x^2) + (3x + 3x) + (1 + 4) > 0 $$ $$ x^2 + 6x + 5 > 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители. Найдём корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$: по теореме Виета $x_1 = -5$, $x_2 = -1$. $$ (x + 5)(x + 1) > 0 $$ Решим полученное неравенство методом интервалов: знаки на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; +\infty)$ соответственно «$+$», «$-$», «$+$». Нам подходят интервалы со знаком «$+$». $$ x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty) $$ Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$. --- б) $x + 2 < \sqrt[3]{x^3 + 5x^2 + 7x + 2}$ Возведём обе части неравенства в куб: $$ (x + 2)^3 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2 $$ Раскроем скобки в левой части по формуле куба суммы: $$ x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2 $$ $$ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 < x^3 + 5x^2 + 7x + 2 $$ Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные: $$ (x^3 - x^3) + (6x^2 - 5x^2) + (12x - 7x) + (8 - 2) < 0 $$ $$ x^2 + 5x + 6 < 0 $$ Разложим квадратный трёхчлен на множители. Корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$: по теореме Виета $x_1 = -3$, $x_2 = -2$. $$ (x + 3)(x + 2) < 0 $$ Решим неравенство методом интервалов: парабола $y = (x + 3)(x + 2)$ направлена ветвями вверх, следовательно, выражение принимает отрицательные значения строго между корнями: $$ x \in (-3; -2) $$ Ответ: $x \in (-3; -2)$.