ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 16

По определению, два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Пусть $x_0$ принадлежит общей области определения функций $f(x)$ и $g(x)$. 1. Докажем, что каждое решение неравенства $f(x) > g(x)$ является решением неравенства $af(x) > ag(x)$. Пусть $x_0$ — решение неравенства $f(x) > g(x)$, то есть числовое неравенство $$ f(x_0) > g(x_0) $$ является верным. По свойству числовых неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на положительное число $a$ знак неравенства сохраняется. Так как $a > 0$, умножим обе части на $a$: $$ af(x_0) > ag(x_0) $$ Полученное числовое неравенство верно, следовательно, $x_0$ является решением неравенства $af(x) > ag(x)$. 2. Докажем обратное: каждое решение неравенства $af(x) > ag(x)$ является решением неравенства $f(x) > g(x)$. Пусть $x_0$ — решение неравенства $af(x) > ag(x)$, то есть числовое неравенство $$ af(x_0) > ag(x_0) $$ является верным. Так как $a > 0$, число $\dfrac{1}{a}$ также положительно ($\dfrac{1}{a} > 0$). Умножим обе части верного неравенства на $\dfrac{1}{a}$: $$ \frac{1}{a} \cdot af(x_0) > \frac{1}{a} \cdot ag(x_0) $$ $$ f(x_0) > g(x_0) $$ Полученное числовое неравенство верно, следовательно, $x_0$ является решением неравенства $f(x) > g(x)$. Таким образом, любое решение неравенства $f(x) > g(x)$ является решением неравенства $af(x) > ag(x)$, и наоборот. Множества решений этих неравенств совпадают, а значит, при $a > 0$ неравенства $f(x) > g(x)$ и $af(x) > ag(x)$ равносильны, что и требовалось доказать.