ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 46

Область определения функции $y = \sqrt{\sin^2 2x + 2\sin x \cos x}$ задаётся условием неотрицательности подкоренного выражения: $$ \sin^2 2x + 2\sin x \cos x \ge 0 $$ Применим формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $$ \sin^2 2x + \sin 2x \ge 0 $$ Разложим левую часть неравенства на множители, вынеся общий множитель $\sin 2x$ за скобки: $$ \sin 2x (\sin 2x + 1) \ge 0 $$ Так как область значений функции синуса есть отрезок $[-1; 1]$, для любого $x \in \mathbb{R}$ справедливо неравенство: $$ -1 \le \sin 2x \le 1 \implies \sin 2x + 1 \ge 0 $$ Поскольку второй множитель $\sin 2x + 1$ всегда неотрицателен, произведение $\sin 2x (\sin 2x + 1)$ больше или равно нулю тогда и только тогда, когда либо первый множитель неотрицателен, либо второй множитель равен нулю: $$ \left[ \begin{gathered} \sin 2x \ge 0, \\ \sin 2x + 1 = 0 \end{gathered} \right. \iff \left[ \begin{gathered} \sin 2x \ge 0, \\ \sin 2x = -1 \end{gathered} \right. $$ Решим каждое условие совокупности: 1) $\sin 2x \ge 0$: $$ 2\pi k \le 2x \le \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим все части неравенства на 2: $$ \pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\sin 2x = -1$: $$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на 2: $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Точки $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ являются изолированными точками области определения, так как они не входят в отрезки $\left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right]$. Объединяя полученные решения, получаем область определения функции. Ответ: $x \in \left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right] \cup \left\{-\frac{\pi}{4} + \pi k\right\}, \quad k \in \mathbb{Z}$.