ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 35

**а)** Пусть $(a_n)$ — искомая арифметическая прогрессия, где $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов. По условию задачи сумма первых $n$ членов для любого натурального $n$ равна утроенному квадрату числа этих членов: $$ S_n = 3n^2 $$ Найдем первый член прогрессии при $n = 1$: $$ a_1 = S_1 = 3 \cdot 1^2 = 3 $$ Найдем сумму первых двух членов при $n = 2$: $$ S_2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 $$ Так как $S_2 = a_1 + a_2$, выразим второй член: $$ a_2 = S_2 - a_1 = 12 - 3 = 9 $$ Определим разность арифметической прогрессии: $$ d = a_2 - a_1 = 9 - 3 = 6 $$ Для любого номера $n \ge 2$ член последовательности также можно найти по формуле: $$ a_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 - 3(n - 1)^2 = 3(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) = 3(2n - 1) = 6n - 3 $$ Формула $a_n = 6n - 3$ верна и при $n = 1$: $a_1 = 6 \cdot 1 - 3 = 3$. Таким образом, искомая прогрессия имеет первый член $a_1 = 3$, разность $d = 6$ и задается формулой общего члена $a_n = 6n - 3$ ($3, 9, 15, \dots$). **Ответ:** арифметическая прогрессия с $a_1 = 3$ и $d = 6$ (формула общего члена $a_n = 6n - 3$). --- **б)** Требуется найти сумму первых $n$ членов ряда: $$ S_n = 7 + 77 + 777 + \dots + \underbrace{77\dots7}_{n} $$ Вынесем общий множитель $7$ за скобки: $$ S_n = 7 \cdot (1 + 11 + 111 + \dots + \underbrace{11\dots1}_{n}) $$ Умножим и разделим выражение в скобках на $9$: $$ S_n = \frac{7}{9} \cdot (9 + 99 + 999 + \dots + \underbrace{99\dots9}_{n}) $$ Запишем каждое слагаемое в виде разности степени числа $10$ и единицы: * $9 = 10^1 - 1$ * $99 = 10^2 - 1$ * $999 = 10^3 - 1$ * $\dots$ * $\underbrace{99\dots9}_{n} = 10^n - 1$ Тогда сумма запишется следующим образом: $$ S_n = \frac{7}{9} \left( (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1) \right) $$ Сгруппируем отдельно степени десятки и единицы: $$ S_n = \frac{7}{9} \left( (10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - \underbrace{(1 + 1 + 1 + \dots + 1)}_{n} \right) $$ Сумма в первых скобках представляет собой сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 10$ и знаменателем $q = 10$: $$ 10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n = \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} $$ Сумма $n$ единиц равна $n$. Подставим эти значения в выражение для $S_n$: $$ S_n = \frac{7}{9} \left( \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right) $$ Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $$ S_n = \frac{7}{9} \left( \frac{10^{n+1} - 10 - 9n}{9} \right) = \frac{7(10^{n+1} - 9n - 10)}{81} $$ **Ответ:** $\dfrac{7(10^{n+1} - 9n - 10)}{81}$.